Division mit Rest - Beweis < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Fr 22.10.2010 | | Autor: | lenzlein |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass zu a [mm] \in \IZ [/mm] und m [mm] \in \IN [/mm] stets eindeutig bstimmte q, r [mm] \in \IZ [/mm] mit a = qm + r und - [mm] \bruch{m}{2} [/mm] < r [mm] \le \bruch{m}{2} [/mm] existieren. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
wir haben in der vorlesung die division mit rest behandelt, wobei q der quotient und r der rest ist. wir haben auch einen beweis angefertigt, der fast genauso aussieht nur das intervall für r ist 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] m.
sei R := {a - qm : q [mm] \in \IZ [/mm] }. Dann R [mm] \cap \IN [/mm] (mit 0) [mm] \not= \emptyset [/mm] , denn für a [mm] \ge [/mm] 0 ist a - 0m = a [mm] \in \IN [/mm] (mit 0) und
für a a < 0 ist a - am = a(1 - m) [mm] \ge [/mm] 0.
Es existiert ein kleinstes element r := min R. schreibe r = a- qm( q [mm] \in \IZ [/mm] ). dann r [mm] \ge [/mm] 0, aber r - m = a - (q+1) < 0 nach wahl von r. also r < m, und q und r wie gewünscht.
seien auch q' und r' [mm] \in \IZ [/mm] mit a = q'm + r' und 0 [mm] \le [/mm] r' < m. dann r - r' = (q-q')m. wegen |r - r'| < m folgt q' - q = 0. d.h. q' = q und r' =r. (beweisende)
also den beweis kann ich ungefähr nachvollziehen. ich verstehe nicht unbedingt warum wir dann noch die elemente q' und r' eingefügt haben und ich weiß auch nicht wie ich das jetzt auf mein neues intervall anwenden soll.
danke für eure antworten!
lg lenzlein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Fr 22.10.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
ihr werdet in Kürze Aufgaben lösen wie:
welchen Rest lässt [mm] 23^{100} [/mm] bei Teilung durch 12.
Da 23 bei Teilung durch 12 den Rest 11 lässt wird [mm] 23^{100} [/mm] den selben Rest lassen wie [mm] 11^{100}.
[/mm]
Aber selbst [mm] 11^{100} [/mm] ist eklig auszurechnen.
Deshalb ist es gut, dass man 23 nicht unbedingt als 1*12+11 schreiben muss, sondern 2*12-1 verwendet. Statt eines Restes 11 hat man einen betragsmäßig viel kleineren "Rest" -1, mit dem man viel leichter rechnen kann.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Fr 22.10.2010 | | Autor: | lenzlein |
ok wow das is ja ma schön normal ausgedrückt und nich immer im mathedeutsch...so weit so gut...aber wie drück ich das jetzt förmlich für meinen beweis aus?
lg lenzlein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Sa 23.10.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo Lenzlein
Benutze, dass die Division mit Rest eindeutig ist. Dann weisst du, dass der Rest eine ganze Zahl [mm] $\in\{0,1,\dots,m-1}$ [/mm] ist. Dann kannst du aber leicht auf die zu beweisende Behauptung schliessen.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Sa 23.10.2010 | | Autor: | lenzlein |
das versteh ich nich so recht...aknnst dus es vllt besser formulieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Sa 23.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du ja lernen willst, versuchs doch mal erst an Hand des Beispiels mit der 23, mach ein 2 tes Beispiel, vielleicht ein drittes
wie kommt man von
[mm] a=q_1*m+r [/mm] mit [mm] 0\le r\le [/mm] m
zu [mm] a=q_2*m+r [/mm] mit [mm] -m/2\le [/mm] r [mm] \le [/mm] +m/2
Also immer ne Weile mit den Tips rumspielen, bevor man aufgibt.
Gruss leduart
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