Divergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Di 27.01.2009 | | Autor: | ronja33 |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n})eine [/mm] reelle Folge, [mm] a_{n}>0 [/mm] für alle n. Man zeige:
Mit [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (a_{n} [/mm] )divergiert auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{ a_{n}}{a_{n}+1}) [/mm] |
Hallo,
habe hier das Quotientenkriterium versucht, aber es kommt etwas Komisches raus. Und Minorantenkriterium funktioniert leider auch nicht da die Summe von [mm] a_{n} [/mm] größer als der Bruch ist.
Wie könnte ich die Divergenz noch beweisen?
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Di 27.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir haben: [mm] a_n [/mm] >0 und $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] $ divergent.
Fall 1: [mm] (a_n) [/mm] ist unbeschränkt. Dann gibt es eine Teilfolge [mm] (a_{n_{k}}) [/mm] mit
[mm] a_{n_{k}} [/mm] ---> [mm] \infty [/mm] (für k ---> [mm] \infty)
[/mm]
Es folgt: [mm] \bruch{a_{n_{k}}}{1+a_{n_{k}}} [/mm] ---> 1 (für k ---> [mm] \infty)
[/mm]
Damit ist [mm] (\bruch{a_n}{1+a_n}) [/mm] keine Nullfolge und somit ist $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{ a_{n}}{a_{n}+1} [/mm] $ divergent.
Fall 2: [mm] (a_n) [/mm] ist beschränkt. Etwa : 0< [mm] a_n \le [/mm] c für jedes n.
Für jedes n ist dann : [mm] \bruch{ a_{n}}{a_{n}+1} \ge \bruch{1}{c+1}a_n
[/mm]
Aus dem Minorantenkriterium folgt dann die Divergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{ a_{n}}{a_{n}+1}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Di 27.01.2009 | | Autor: | ronja33 |
Vielen lieben Dank!
Ich habe noch zwei kleine Fragen:
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> Fall 1: [mm](a_n)[/mm] ist unbeschränkt. Dann gibt es eine
> Teilfolge [mm](a_{n_{k}})[/mm] mit
>
> [mm]a_{n_{k}}[/mm] ---> [mm]\infty[/mm] (für k ---> [mm]\infty)[/mm]
>
>
> Es folgt: [mm]\bruch{a_{n_{k}}}{1+a_{n_{k}}}[/mm] ---> 1 (für k
> ---> [mm]\infty)[/mm]
>
Warum ist dieser Bruch größer 1??? Der Zähler ist doch kleiner als der Nenner?
> Damit ist [mm](\bruch{a_n}{1+a_n})[/mm] keine Nullfolge und somit
> ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{ a_{n}}{a_{n}+1}[/mm]
> divergent.
>
>
>
> Fall 2: [mm](a_n)[/mm] ist beschränkt. Etwa : 0< [mm]a_n \le[/mm] c für jedes
> n.
>
> Für jedes n ist dann : [mm]\bruch{ a_{n}}{a_{n}+1} \ge \bruch{1}{c+1}a_n[/mm]
>
Warum ist der erste Bruch größer als der zweite? c ist doch kleine a und damit wird der Nenner vom zweiten Bruch kleiner und der Bruch an sich größer?
> Aus dem Minorantenkriterium folgt dann die Divergenz von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{ a_{n}}{a_{n}+1}[/mm]
>
Vielen Dank!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Di 27.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen lieben Dank!
> Ich habe noch zwei kleine Fragen:
>
> >
> > Fall 1: [mm](a_n)[/mm] ist unbeschränkt. Dann gibt es eine
> > Teilfolge [mm](a_{n_{k}})[/mm] mit
> >
> > [mm]a_{n_{k}}[/mm] ---> [mm]\infty[/mm] (für k ---> [mm]\infty)[/mm]
> >
> >
> > Es folgt: [mm]\bruch{a_{n_{k}}}{1+a_{n_{k}}}[/mm] ---> 1 (für k
> > ---> [mm]\infty)[/mm]
> >
> Warum ist dieser Bruch größer 1???
Wer sagt das ? Oben steht, dass [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{a_{n_{k}}}{1+a_{n_{k}}} [/mm] = 1 ist
> Der Zähler ist doch
> kleiner als der Nenner?
> > Damit ist [mm](\bruch{a_n}{1+a_n})[/mm] keine Nullfolge und somit
> > ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{ a_{n}}{a_{n}+1}[/mm]
> > divergent.
> >
> >
> >
> > Fall 2: [mm](a_n)[/mm] ist beschränkt. Etwa : 0< [mm]a_n \le[/mm] c für jedes
> > n.
> >
> > Für jedes n ist dann : [mm]\bruch{ a_{n}}{a_{n}+1} \ge \bruch{1}{c+1}a_n[/mm]
>
> >
> Warum ist der erste Bruch größer als der zweite? c ist doch
> kleine a und damit wird der Nenner vom zweiten Bruch
> kleiner und der Bruch an sich größer?
[mm] a_n \le [/mm] c [mm] \gdw 1+a_n \le [/mm] 1+c [mm] \gdw \bruch{1}{1+c} \le \bruch{1}{1+a_n} \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1+c}a_n \le \bruch{1}{1+a_n}a_n
[/mm]
FRED
>
> > Aus dem Minorantenkriterium folgt dann die Divergenz von
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{ a_{n}}{a_{n}+1}[/mm]
> >
> Vielen Dank!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Di 27.01.2009 | | Autor: | ronja33 |
ok, danke alles klar. Das Problem war, dass ich plötzlich nicht mehr alles lesen konnte und einige Teile verschoben waren. Da stimmte wohl was mit dem Format nicht.
Dankeschön! 
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