Divergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf ihre Konvergenz
[mm] \summe_{k=2}^{n} \bruch {1}{\wurzel{k^2-1}}
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie die Divergenz! |
Hey ich komme gerade bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Zuvor sollte die Konvergenz einer Reihe mittels Majorantenkriterium aufgezeigt werden, dass hab ich soweit hinbekommen.
Nun soll ich die Divergenz aufzeigen. Ich würde das jetzt mit dem Minorantenkriterium machen.
Da die Harmonische Reihe ja divergent ist, würde ich diese als Minorante nehmen, da diese allerdings kleiner sein muss als die andere Reihe habe ich Sie folgendermaßen "modifiziert":
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k^2+1}}
[/mm]
Da diese Reihe divergiert und kleiner ist als die Reihe in der Aufgabestellung, divergiert die Reihe der Aufgabenstellung ebenfalls.
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k^2+1}}<\summe_{k=2}^{n} \bruch {1}{\wurzel{k^2-1}}
[/mm]
Soweit meine Theorie, ist das alles so korrekt oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Di 18.11.2014 | | Autor: | MacMath |
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf ihre Konvergenz
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> [mm]\summe_{k=2}^{n} \bruch {1}{\wurzel{k^2-1}}[/mm]
>
> Hinweis: Zeigen Sie die Divergenz!
> Hey ich komme gerade bei dieser Aufgabe nicht weiter.
> Zuvor sollte die Konvergenz einer Reihe mittels
> Majorantenkriterium aufgezeigt werden, dass hab ich soweit
> hinbekommen.
>
> Nun soll ich die Divergenz aufzeigen. Ich würde das jetzt
> mit dem Minorantenkriterium machen.
>
> Da die Harmonische Reihe ja divergent ist, würde ich diese
> als Minorante nehmen, da diese allerdings kleiner sein muss
> als die andere Reihe habe ich Sie folgendermaßen
> "modifiziert":
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k^2+1}}[/mm]
>
> Da diese Reihe divergiert und kleiner ist als die Reihe in
Wo ist denn der Beweis, dass diese Reihe divergiert?
Es geht schöner. Tipp: 3. binom. Formel.
> der Aufgabestellung, divergiert die Reihe der
> Aufgabenstellung ebenfalls.
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k^2+1}}<\summe_{k=2}^{n} \bruch {1}{\wurzel{k^2-1}}[/mm]
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> Soweit meine Theorie, ist das alles so korrekt oder habe
> ich irgendwo einen Fehler gemacht ?
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> > [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k^2+1}}[/mm]
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> Wo ist denn der Beweis, dass diese Reihe divergiert?
>
>
Ja genau das ist immer mein Problem ich weiß nicht wie man das ganze Beweisen soll, ich habe die ersten Summen dieser Reihe gebildet und habe daran gesehen, dass sie divergiert, aber wie kann man das beweisen ?
> Es geht schöner. Tipp: 3. binom. Formel.
Was meinst du damit ? (die 3. binom. Formel kenne ich schon nur was soll ich jetzt damit machen ?)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Di 18.11.2014 | | Autor: | MacMath |
> > > [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k^2+1}}[/mm]
> >
> > Wo ist denn der Beweis, dass diese Reihe divergiert?
> >
> >
>
> Ja genau das ist immer mein Problem ich weiß nicht wie man
> das ganze Beweisen soll, ich habe die ersten Summen dieser
> Reihe gebildet und habe daran gesehen, dass sie divergiert,
WAAAAS??? Du hast ein paar Glieder berechnet und SIEHST DIVERGENZ?!
> aber wie kann man das beweisen ?
>
> > Es geht schöner. Tipp: 3. binom. Formel.
>
> Was meinst du damit ? (die 3. binom. Formel kenne ich schon
> nur was soll ich jetzt damit machen ?)
Geschmackssache. Ich würde sie anwenden.
Wir wollen die Reihe nach unten abschätzen, den Nenner also nach oben.
[mm] $\wurzel{k^2-1}=\wurzel{(k+1)(k-1)}<\wurzel{(k+1)(k+1)}=k+1
[/mm]
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> > > > [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k^2+1}}[/mm]
> > >
> > > Wo ist denn der Beweis, dass diese Reihe divergiert?
> > >
> > >
> >
> > Ja genau das ist immer mein Problem ich weiß nicht wie man
> > das ganze Beweisen soll, ich habe die ersten Summen dieser
> > Reihe gebildet und habe daran gesehen, dass sie divergiert,
>
> WAAAAS??? Du hast ein paar Glieder berechnet und SIEHST
> DIVERGENZ?!
Wie beweise ich denn die Divergenz bitte, wäre dir sehr dankbar wenn du mir das erklären könntest.
> >
> > > Es geht schöner. Tipp: 3. binom. Formel.
> >
> > Was meinst du damit ? (die 3. binom. Formel kenne ich schon
> > nur was soll ich jetzt damit machen ?)
>
> Geschmackssache. Ich würde sie anwenden.
> Wir wollen die Reihe nach unten abschätzen, den Nenner
> also nach oben.
>
> [mm]$\wurzel{k^2-1}=\wurzel{(k+1)(k-1)}<\wurzel{(k+1)(k+1)}=k+1[/mm]
>
Ok aber so wie ich es gemacht habe, ist es auch richtig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Di 18.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > > > [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k^2+1}}[/mm]
> > > >
> > > > Wo ist denn der Beweis, dass diese Reihe divergiert?
> > > >
> > > >
> > >
> > > Ja genau das ist immer mein Problem ich weiß nicht wie man
> > > das ganze Beweisen soll, ich habe die ersten Summen dieser
> > > Reihe gebildet und habe daran gesehen, dass sie divergiert,
> >
> > WAAAAS??? Du hast ein paar Glieder berechnet und SIEHST
> > DIVERGENZ?!
>
> Wie beweise ich denn die Divergenz bitte, wäre dir sehr
> dankbar wenn du mir das erklären könntest.
Er hat Dir doch gezeigt:
[mm] $\wurzel{k^2-1}
Damit ist [mm] \bruch{1}{\wurzel{k^2-1}} \ge \bruch{1}{k+1}
[/mm]
FRED
>
> > >
> > > > Es geht schöner. Tipp: 3. binom. Formel.
> > >
> > > Was meinst du damit ? (die 3. binom. Formel kenne ich schon
> > > nur was soll ich jetzt damit machen ?)
> >
> > Geschmackssache. Ich würde sie anwenden.
> > Wir wollen die Reihe nach unten abschätzen, den Nenner
> > also nach oben.
> >
> > [mm]$\wurzel{k^2-1}=\wurzel{(k+1)(k-1)}<\wurzel{(k+1)(k+1)}=k+1[/mm]
> >
>
> Ok aber so wie ich es gemacht habe, ist es auch richtig ?
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> > > > > > [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k^2+1}}[/mm]
> > >
> > >
> > > > > Wo ist denn der Beweis, dass diese Reihe divergiert?
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > > > Ja genau das ist immer mein Problem ich weiß nicht wie man
> > > > das ganze Beweisen soll, ich habe die ersten Summen dieser
> > > > Reihe gebildet und habe daran gesehen, dass sie divergiert,
> > >
> > > WAAAAS??? Du hast ein paar Glieder berechnet und SIEHST
> > > DIVERGENZ?!
> >
> > Wie beweise ich denn die Divergenz bitte, wäre dir sehr
> > dankbar wenn du mir das erklären könntest.
>
> Er hat Dir doch gezeigt:
>
> [mm]\wurzel{k^2-1}
>
> Damit ist [mm]\bruch{1}{\wurzel{k^2-1}} \ge \bruch{1}{k+1}[/mm]
>
> FRED
Ok soweit so gut, nur wie beweise ich nun das diese Minorante auch wirklich divergiert ?
> >
> > > >
> > > > > Es geht schöner. Tipp: 3. binom. Formel.
> > > >
> > > > Was meinst du damit ? (die 3. binom. Formel kenne ich schon
> > > > nur was soll ich jetzt damit machen ?)
> > >
> > > Geschmackssache. Ich würde sie anwenden.
> > > Wir wollen die Reihe nach unten abschätzen, den
> Nenner
> > > also nach oben.
> > >
> > > [mm]$\wurzel{k^2-1}=\wurzel{(k+1)(k-1)}<\wurzel{(k+1)(k+1)}=k+1[/mm]
> > >
> >
> > Ok aber so wie ich es gemacht habe, ist es auch richtig ?
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Di 18.11.2014 | | Autor: | abakus |
Hallo,
hier hängt es wohl an einigen fehlenden Grundlagen.
Als divergente Minorante verwendet man solche Folgen/Reihen, von den man aus vorherigen Aufgaben weiß, dass sie divergieren.
Ich glaube übrigens nicht, dass ihr in diese Aufgaben hineingejagt werdet, ohne vorher einige klassische Beispiele divergenter Folgen/Reihen ausgiebig untersucht zu haben.
DAS klassische Beispiel ist die Divergenz von
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}[/mm] .
Schließlich gilt
[mm]1+\green{ \frac{1}{2}}+\blue{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\red{ \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}}[/mm] ...> [mm]1+\green{ \frac{1}{2}}+\blue{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\red{ \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}[/mm] ... =[mm]1+\green{ \frac{1}{2}}+\blue{\frac{1}{2}}+\red{ \frac{1}{2}}+...[/mm]
womit sich unendlich viele Summanden [mm] \frac{1}{2}[/mm] erzeugen lassen, woraus die Divergenz folgt.
Sei ehrlich - das hattet ihr ?!?
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> Hallo,
> hier hängt es wohl an einigen fehlenden Grundlagen.
> Als divergente Minorante verwendet man solche
> Folgen/Reihen, von den man aus vorherigen Aufgaben weiß,
> dass sie divergieren.
> Ich glaube übrigens nicht, dass ihr in diese Aufgaben
> hineingejagt werdet, ohne vorher einige klassische
> Beispiele divergenter Folgen/Reihen ausgiebig untersucht zu
> haben.
> DAS klassische Beispiel ist die Divergenz von
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}[/mm] .
> Schließlich gilt
> [mm]1+\green{ \frac{1}{2}}+\blue{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\red{ \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}}[/mm] ...> [mm]1+\green{ \frac{1}{2}}+\blue{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\red{ \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}[/mm]
> ... =[mm]1+\green{ \frac{1}{2}}+\blue{\frac{1}{2}}+\red{ \frac{1}{2}}+...[/mm]
>
> womit sich unendlich viele Summanden [mm] \frac{1}{2}[/mm] erzeugen
> lassen, woraus die Divergenz folgt.
> Sei ehrlich - das hattet ihr ?!?
Ja das ist die harmonische Reihe wenn ich mich nicht irre, auf die hatte ich ja im anfangsthread verwiesen, nur dass ich diese noch modifiziert hatte und dann wurde ich nach einem beweis gefragt ob diese von mir aufgestellte minorante auch wirklich divergiert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Di 18.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \wurzel{k^2-1}<\wurzel{k^2} [/mm] damit [mm] 1/\wurzel{k^2-1}>1/k
[/mm]
ware der schnelle Weg gewesen, ungeschickt von dir war nur statt auf [mm] k^2 [/mm] zu vergrö0ern auf [mm] k^2+1 [/mm] zu vergrößern, denn die harmonische Reihe oder ein Vielfaches von ihr ist ja fast immer die gesuchte minorante für divergenz, während die geometrische Reihe meist die gesuchte Majorante ist.
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Di 18.11.2014 | | Autor: | abakus |
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> Ja das ist die harmonische Reihe wenn ich mich nicht irre,
> auf die hatte ich ja im anfangsthread verwiesen, nur dass
> ich diese noch modifiziert hatte und dann wurde ich nach
> einem beweis gefragt ob diese von mir aufgestellte
> minorante auch wirklich divergiert
>
Aus gutem Grund. Deine modifizierte Reihe hatte kleinere Summanden als die bekanntermaßen divergierende harmonische Reihe.
Wenn man die Summanden einer divergenten Reihe nur ausreichend stark verkleinert, könnte die neu entstandene Reihe konvergieren.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Di 18.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf ihre Konvergenz
>
> [mm]\summe_{k=2}^{n} \bruch {1}{\wurzel{k^2-1}}[/mm]
>
> Hinweis: Zeigen Sie die Divergenz!
> Hey ich komme gerade bei dieser Aufgabe nicht weiter.
> Zuvor sollte die Konvergenz einer Reihe mittels
> Majorantenkriterium aufgezeigt werden, dass hab ich soweit
> hinbekommen.
>
> Nun soll ich die Divergenz aufzeigen. Ich würde das jetzt
> mit dem Minorantenkriterium machen.
>
> Da die Harmonische Reihe ja divergent ist, würde ich diese
> als Minorante nehmen, da diese allerdings kleiner sein muss
> als die andere Reihe habe ich Sie folgendermaßen
> "modifiziert":
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k^2+1}}[/mm]
>
> Da diese Reihe divergiert und kleiner ist als die Reihe in
> der Aufgabestellung, divergiert die Reihe der
> Aufgabenstellung ebenfalls.
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k^2+1}}<\summe_{k=2}^{n} \bruch {1}{\wurzel{k^2-1}}[/mm]
>
> Soweit meine Theorie, ist das alles so korrekt oder habe
> ich irgendwo einen Fehler gemacht ?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gehe strategisch und psychologisch geschickt vor !
Wenn der Hinweis schon lautet "Zeigen Sie die Divergenz! ", so stinkt das geradezu nach dem Minorantenkriterium !
Für große k verhält sich [mm] \bruch {1}{\wurzel{k^2-1}} [/mm] etwa wie [mm] \bruch {1}{\wurzel{k^2}}=\bruch{1}{k}.
[/mm]
Ich mache dann in solchen Situationen , wegen des oben genannten Gestanks, den Ansatz:
(*) [mm] \bruch {1}{\wurzel{k^2-1}} \ge \bruch{1}{k}.
[/mm]
Durch Äquivalenzumformungen kann man dann sehen, ob (*) für fast alle k richtig ist.
Mach das mal.
FRED
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