Divergenz von n+5 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich möchte beweisen, dass [mm] a_{n}= [/mm] n+5 nicht konvergiert. Mir ist das im Prinzip schon vollkommen klar. Ich hab nur Schwierigkeiten, dass korrekt als Beweis aufzuschreiben und möchte an meiner Aufgab nicht schon wieder ein "naja" stehen haben.
Also meine Idee ist, da die Folge monton wachsend ist (muss ich das auch beweisen und wenn ja wie?) darf sie keine obere Schranke haben. Mir erscheint das vollkommen logisch und wahrscheinlich habe ich deshalb das Problem, das in einem formalen Beweis zu verpacken.
Vielen Dank im Voraus
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Hallo!
> Hallo,
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> ich möchte beweisen, dass [mm]a_{n}=[/mm] n+5 nicht konvergiert. Mir
> ist das im Prinzip schon vollkommen klar. Ich hab nur
> Schwierigkeiten, dass korrekt als Beweis aufzuschreiben und
> möchte an meiner Aufgab nicht schon wieder ein "naja"
> stehen haben.
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> Also meine Idee ist, da die Folge monton wachsend ist (muss
> ich das auch beweisen und wenn ja wie?) darf sie keine
> obere Schranke haben.
Das reicht so leider nicht!
Nimm zum Beispiel die Folge [mm] $a_n:=1-\frac{1}{n}$.
[/mm]
Diese ist monoton wachsend, aber offensichtlich nach oben beschränkt, so zum Beispiel durch 10000.
> Mir erscheint das vollkommen logisch
> und wahrscheinlich habe ich deshalb das Problem, das in
> einem formalen Beweis zu verpacken.
Keine Angst, das lernst Du schon 
Aber zurück zum Problem.
Was Du eigentlich willst, ist, daß die Folge nach oben nicht beschränkt ist.
Das zeigst Du am besten, indem Du annimmst, es existiere eine obere Schranke, sagen wir $c>0$, und dies zum Widerspruch führst, indem Du ein $N$ angibst mit [mm] $a_N>c$.
[/mm]
Das ist in diesem Fall hier ziemlich simpel und banal, aber ich schreib es Dir vielleicht mal auf, so wie es auch Korrekteure freuen könnte  :
Beh.: [mm] $a_n:=n+5$ [/mm] ist nach oben unbeschränkt.
Bew.: durch Widerspruch.
Angen., es existiert $C>0$ mit [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN:$ $a_n
Nach dem Satz von Archimedes exisiert ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit $N>C$.
Dann ist aber, mit diesem $N$: [mm] $a_N=N+5>C+5>C$.
[/mm]
Das ist aber der gewünschte Widerspruch,
also ist [mm] $a_n$ [/mm] nach oben nicht beschränkt.
Aber das ist schon seeeeehr ausführlich :)
Aber am Anfang ist es manchmal wichtig, daß man solche Sachen, auch so ganz einfache, mal richtig formalisiert aufschreibt.
Gruß,
Christian
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