Divergenz von Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Schroet |
| Aufgabe | Prüfen Sie folgende Reihe auf konvergenz:
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n}+(-1)^n\bruch{1}{\wurzel{n}})$ [/mm] |
Guten Tag.
Ich habe folgende Reihe gegeben.
Dazu habe ich mir schon eine Lösung überlegt, jedoch weiß ich nicht ob ein Schritt bei mir richtig ist oder nicht. Also:
[mm] a_n:=(\bruch{1}{n}+(-1)^n\bruch{1}{\wurzel{n}})
[/mm]
[mm] \sum_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] c_n:=\bruch{1}{n}
[/mm]
Die Idee (Majorantenkriterium):
Wir wissen dass die Harmonische Reihe divergiert.
Wenn wir zeigen, dass [mm] \left| a_n \right| \ge c_n, [/mm] dann wissen wir dass [mm] a_n [/mm] ebenfalls divergieren muss, da die harmonische Reihe keine untere Schranke von [mm] a_n [/mm] sein kann (wegen Divergenz).
Also:
[mm] \bruch{1}{n}+(-1)^n\bruch{1}{\wurzel{n}}\ge\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] (-1)^n\bruch{1}{\wurzel{n}}\ge0 [/mm]
jetzt quadriere ich diese Ungleichung und an diese Stelle tritt meine Frage auf, ob ich es überhaupt machen darf, denn dadurch bekomme ich folgendes raus:
[mm] \bruch{1}{n}\ge0 [/mm] weil [mm] (-1)^{2n} [/mm] immer 1 ergibt!
[mm] \Rightarrow [/mm] die Reihe divergiert.
Meine Frage wie oben schon erwähnt, bezieht sich auf die Gültigkeit des quadrierens bei Folgen und speziell in diesem Fall.
Vielen Dank
mfg Schroet
PS: Die Reihe divergiert auf jeden Fall darüber braucht ihr euch keine Gedanken zu machen 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo schreot,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Nein, das Quadrieren ist nicht korrekt.
Du kannst die Divergenz dieser Reihe nachweisen, indem Du in zwei Teilreihen zerlegst und diese separat betrachtest.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Schroet |
Hallo.
Soweit es mir bekannt ist, darf ich diese Reihe nicht zerlegen bevor ich nicht nachgewiesen habe, dass diese absolut konvergent ist. Das kuriose ist, wenn ich es getan habe, dann muss ich sie nicht mehr zerlegen :)
Wieso ist das Quadrieren in diesem Fall nicht korrekt, ich möchte nur den Grund dafür kennen, ich zweifel nicht an der Richtigkeit deiner Antwort
mfg
Schroet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mi 12.12.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
>
> Wieso ist das Quadrieren in diesem Fall nicht korrekt, ich
> möchte nur den Grund dafür kennen, ich zweifel nicht an der
> Richtigkeit deiner Antwort
>
> mfg
>
> Schroet
Wenn wir die rechte Seite der Ungleichung mal ausser acht lassen: das quadrieren der linken Seite bedeutet ja, diese mit [mm] $(-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}$ [/mm] zu multiplizieren. Da die rechte Seite aber = 0 ist kann man diese multiplikation einfach mal auf beiden Seiten ausführen - rechts tut sich ja eh nix.
Wenn jetzt aber [mm] $(-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] < 0$ ist, dann muss man ja das Ungleichheitszeichen umdrehen. Machen wir also eine Fallunterscheidung, dann sehen wir dass folgt:
[mm] $(-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} \ge [/mm] 0 $ im Fall [mm] $(-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] >0$
und
[mm] $(-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} \le [/mm] 0$ im Fall [mm] $(-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] < 0$
... und das ist natürlich nicht besonders aussagekräftig.
Macht es das einigermaßen plausibel?
Für den Fall, dass auf der Rechten Seite keine 0 stehtlässt sich natürlich nicht mehr ganz so einfach argumentieren, warum das quadrieren Probleme macht, aber im Prinzip sind die Schwierigkeiten die gleichen.
Gruß
piet
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:23 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Schroet |
Vieln Dank für die Erklärung.
Nun entsteht allerding eine neue Frage und ich weiß nicht ob ich ein neues Thema dafür erstellen soll/muss.
Wie zeige ich nun die Divergenz dieser Reihe? :-/
mfg
Schroet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Fr 14.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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