Divergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Fr 18.09.2009 | | Autor: | F.G. |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Folge [mm] x_{n} := \wurzel{n^3 + n} - n [/mm] konvergiert oder divergiert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß, dass die Folge divergiert,hab aber keine Ahnung wie ich das Beweisen soll.
Diese Aufgabe kam bei mir in einer Klausur dran und ohne Taschenrechner fand ich es schwer zu sagen, dass dies der Fall ist. Kann mir vielleicht einer sagen, wie man es sehen kann ob eine Folge div. oder konv., denn ich habe es nur zu Hause mit Hilfe des TR herausbekommen.
Ich habe bisher die Folge soweit "vereinfacht", weiß aber nicht ob es hilft etwas über das Konvergenzverhalten zu sagen.
[mm]
\wurzel(n^3+n)-n = \bruch{n^3+n-n^2}{\wurzel{n^3+n}+n} =\bruch { n^2 +1-n} {\wurzel{n+1/n}+1}
[/mm]
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> Zeigen Sie, dass die Folge [mm]x_{n} := \wurzel{n^3 + n} - n[/mm]
> konvergiert oder divergiert.
> Ich weiß, dass die Folge divergiert,hab aber keine Ahnung
> wie ich das beweisen soll.
> Kann mir vielleicht einer sagen, wie man es sehen
> kann ob eine Folge div. oder konv., denn ich habe es nur zu
> Hause mit Hilfe des TR herausbekommen.
Ein allgemeines "Rezept" dazu gibt es nicht. Doch im
vorliegenden Beispiel kann man sich klar machen,
dass
[mm] $\wurzel{n^3 + n}>\wurzel{n^3}=n^{3/2}=n*\sqrt{n}$
[/mm]
also
$\ [mm] x_n>n*\sqrt{n}-n=n*(\sqrt{n}-1)$
[/mm]
Nun ist offensichtlich, dass die rechte Seite, und damit
auch [mm] x_n [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] strebt.
> Ich habe bisher die Folge soweit "vereinfacht", weiß aber
> nicht ob es hilft etwas über das Konvergenzverhalten zu
> sagen.
>
> [mm]
\wurzel(n^3+n)-n = \bruch{n^3+n-n^2}{\wurzel{n^3+n}+n} =\bruch { n^2 +1-n} {\wurzel{n+1/n}+1}
[/mm]
Kürze weiter nochmals mit [mm] \sqrt{n} [/mm] !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Fr 18.09.2009 | | Autor: | F.G. |
> > [mm]
\wurzel(n^3+n)-n = \bruch{n^3+n-n^2}{\wurzel{n^3+n}+n} =\bruch { n^2 +1-n} {\wurzel{n+1/n}+1}
[/mm]
>
> Kürze weiter nochmals mit [mm]\sqrt{n}[/mm] !
>
>
Okay dann müsste rauskommen:
[mm]\bruch{n+\bruch{1}{n} - 1} {\wurzel { \bruch{1}{n} + \bruch{1}{n^3}} +\bruch{1}{n}
[/mm]
Wie muss ich jetzt weiter machen, oder bin ich fertig, da ich sagen kann, dass kein GW existiert, oder muss ich das noch beweisen????
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Fr 18.09.2009 | | Autor: | F.G. |
Wie muss ich jetzt weiter machen, oder bin ich fertig, da ich sagen kann, dass kein GW existiert, oder muss ich das noch beweisen????
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warum so kompliziert mit bruch undso... mach doch einfach
[mm] \wurzel{n^{3}+n} [/mm] - n
=> [mm] \wurzel{n^{2}*(n+\bruch{1}{n})}-n
[/mm]
=> [mm] n*\wurzel{n+\bruch{1}{n}}-n
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*\wurzel{n+\bruch{1}{n}}-n
[/mm]
=> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*\wurzel{n}-n
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Sa 19.09.2009 | | Autor: | F.G. |
Okay das ist um hundert Prozent einfacher.....
Hab die nur mit Bruch gerechnet da ich ne ähnliche (anstelle von [mm] n^3 [/mm] war es nur [mm] n^2) [/mm] so rechnen musste, aber die hat ja auch konvergiert.
Vielen Dank für die Hilfe.
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> > > [mm] $\wurzel(n^3+n)-n [/mm] = [mm] \bruch{n^3+n-n^2}{\wurzel{n^3+n}+n}=\bruch [/mm] { [mm] n^2 [/mm] +1-n} [mm] {\wurzel{n+1/n}+1}$ [/mm]
> > Kürze weiter nochmals mit [mm]\sqrt{n}[/mm] !
> Okay dann müsste rauskommen:
> [mm]\bruch{n+\bruch{1}{n} - 1} {\wurzel { \bruch{1}{n} + \bruch{1}{n^3}} +\bruch{1}{n}
[/mm]
>
> Wie muss ich jetzt weiter machen, oder bin ich fertig, da
> ich sagen kann, dass kein GW existiert, oder muss ich das
> noch beweisen????
Ich hatte zwar vorgeschlagen, nur mit [mm] \sqrt{n} [/mm] zu kürzen,
aber es geht auch so:
Zähler strebt gegen [mm] \infty [/mm] , Nenner (positiv) gegen 0 ,
der Bruch also auch gegen [mm] \infty [/mm] .
LG Al-Chw.
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