Divergenz der Reihe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 So 04.05.2008 | | Autor: | DaSaver |
| Aufgabe | Sei [mm]K[/mm] ein endlicher Körper mit [mm]q[/mm] Elementen. Dann divergiert die Reihe
[mm] \sum_{f} \frac{1}{q^{\deg(f)}} [/mm]
wobei über alle normierten irreduziblen Polynome [mm]f[/mm] in [mm]K[X][/mm] summiert werden soll. |
Hallo,
hat jemand einen Vorschlag wie man diese Aussage beweisen könnte? Es gibt ja höchstens [mm]q^i[/mm] normierte Polynome vom Grad [mm]i \quad (i \ge 1)[/mm], aber hier hilft das nicht weiter, denn ich muss ja wissen wie viele irreduzible Polynome gibt es...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Mo 05.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei [mm]K[/mm] ein endlicher Körper mit [mm]q[/mm] Elementen. Dann divergiert
> die Reihe
>
> [mm]\sum_{f} \frac{1}{q^{\deg(f)}}[/mm]
>
> wobei über alle normierten irreduziblen Polynome [mm]f[/mm] in [mm]K[X][/mm]
> summiert werden soll.
>
> hat jemand einen Vorschlag wie man diese Aussage beweisen
> könnte? Es gibt ja höchstens [mm]q^i[/mm] normierte Polynome vom
> Grad [mm]i \quad (i \ge 1)[/mm], aber hier hilft das nicht weiter,
> denn ich muss ja wissen wie viele irreduzible Polynome gibt
> es...
Versuch doch mal eine untere Abschaetzung fuer die Anzahl der irreduziblen Polynome von Grad $i$ zu finden. Da ich keine Ahnung hab was ihr so gemacht habt kann ich dir nicht sagen wie das am einfachsten geht (von eurem Wissenstand aus).
Ich wuerde beachten, dass jedes irreduzible Polynom ueber [mm] $\IF_q$ [/mm] von Grad $i$ zu genau $i$ Elementen aus [mm] $\IF_{q^i}$ [/mm] gehoert, die in keinem echten Unterkoerper liegen. Damit bekommst du eine Rekursionsfolge fuer die Anzahl der irreduziblen Elemente von Grad $i$ (die Rekursion geht ueber alle echten Teiler von $i$). Vielleicht kommst du damit weiter?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:26 Di 06.05.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Sei [mm]K[/mm] ein endlicher Körper mit [mm]q[/mm] Elementen. Dann divergiert
> die Reihe
>
> [mm]\sum_{f} \frac{1}{q^{\deg(f)}}[/mm]
>
> wobei über alle normierten irreduziblen Polynome [mm]f[/mm] in [mm]K[X][/mm]
> summiert werden soll.
> hat jemand einen Vorschlag wie man diese Aussage beweisen
> könnte? Es gibt ja höchstens [mm]q^i[/mm] normierte Polynome vom
> Grad [mm]i \quad (i \ge 1)[/mm], aber hier hilft das nicht weiter,
> denn ich muss ja wissen wie viele irreduzible Polynome gibt
> es...
Es gibt sogar genau [mm] q^{n} [/mm] normierte Polynome vom Grad n. Damit ist aber die Behauptung für q = 2 falsch. Ist n nämlich [mm] \ge [/mm] 2, dann sind mind. [mm] q^{n-1} [/mm] von diesen Polynomen reduzibel, nämlich die mit konstantem Term 0. Aber dann sind höchstens [mm] q^{n-1} [/mm] irreduzibel, und die geometrische Reihe ist eine konvergente Majorante.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Di 06.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Dieter!
> > Sei [mm]K[/mm] ein endlicher Körper mit [mm]q[/mm] Elementen. Dann divergiert
> > die Reihe
> >
> > [mm]\sum_{f} \frac{1}{q^{\deg(f)}}[/mm]
> >
> > wobei über alle normierten irreduziblen Polynome [mm]f[/mm] in [mm]K[X][/mm]
> > summiert werden soll.
>
> Damit ist aber die Behauptung für q = 2 falsch. Ist n
> nämlich [mm]\ge[/mm] 2, dann sind mind. [mm]q^{n-1}[/mm] von diesen Polynomen
> reduzibel, nämlich die mit konstantem Term 0. Aber dann
> sind höchstens [mm]q^{n-1}[/mm] irreduzibel, und die geometrische
> Reihe ist eine konvergente Majorante.
Bist du dir da sicher? Es ist ja erstmal [mm] $\sum_f \frac{1}{q^{\deg f}} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{q^n}$, [/mm] wobei [mm] $a_n$ [/mm] die Anzahl der normierten irreduziblen Polynome von Grad $n$ bezeichnet.
Du sagst jetzt, dass [mm] $a_n \le q_{n-1}$ [/mm] gilt. Daraus folgt [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{q^n} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{n-1}}{q^n} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty q^{-1}$, [/mm] aber das divergiert.
(Noch ein Hinweis fuer den Fragesteller: es reicht hier voellig aus, sich die Summanden mit $n$ prim anzuschauen, um bereits eine Divergenz der Reihe zu bekommen, da es unendlich viele Primzahlen gibt. Im Fall $n$ prim kann man naemlich sehr einfach die Anzahl der irreduziblen Polynome bestimmen.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:44 Mi 07.05.2008 | | Autor: | statler |
Moin Felix!
Ach Gott ja, es wird immer schlimmer, Kopfrechnen schwach (wie Flasche leer). Daß da gar keine geometrische Reihe übrig bleibt, war mir entgangen. In der S-Bahn sollte ich Krimis lesen und nicht über Mathe nachdenken.
Gruß aus dem Norden
Dieter
|
|
|
|
