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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Fr 03.02.2012 | | Autor: | erha06 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die Folge [mm] (\bruch{n^2}{7n+2}) [/mm] divergent ist |
Hallo zusammen,
ich komme hier nicht wirklich weiter...
Ich habe mir überlegt, zu zeigen, dass die Folge nicht beschränkt ist ("jede konvergente Folge ist beschränkt").
[mm] $|\bruch{n^2}{7n+2}| [/mm] = [mm] \bruch{n^2}{7n+2} [/mm] < [mm] n^2 [/mm] ...$ Ich kann hier natürlich kein festes d finden, dass größer alle [mm] $a_n$ [/mm] ist. Aber reicht das als Beweis?
Alternativ habe ich mir überlegt, die Divergenz per Widerspruchsbeweis über die Definition von Konvergenz zu zeigen, aber da komme ich auch nicht weiter...
Kann mir einer von euch helfen?
Grüße
erha06
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Hiho,
> Ich habe mir überlegt, zu zeigen, dass die Folge nicht
> beschränkt ist ("jede konvergente Folge ist
> beschränkt").
guter Ansatz.
> [mm]|\bruch{n^2}{7n+2}| = \bruch{n^2}{7n+2} < n^2 ...[/mm] Ich kann
> hier natürlich kein festes d finden, dass größer alle
> [mm]a_n[/mm] ist. Aber reicht das als Beweis?
Nein. Du hast ja nach oben abgeschätzt! Das bringt dir gar nichts, denn wenn du nach oben abschätzt und die Abschätzung gegen unendlich geht, hast du gar nix gewonnen.
Zeige: [mm] $\bruch{n^2}{7n+2} \ge [/mm] n$ für [mm] $n\ge [/mm] 1$.
Das liefert dir dann das Gewünschte.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Fr 03.02.2012 | | Autor: | erha06 |
> Zeige: [mm]\bruch{n^2}{7n+2} \ge n[/mm] für [mm]n\ge 1[/mm].
>
> Das liefert dir dann das Gewünschte.
Danke für deine Antwort. Allerdings ist diese Aussage falsch. (Gilt erst für [mm] $n\ge [/mm] 8$). Oder sollte ich sie widerlegen?
Ich verstehe auch nicht wirklich, warum ich nach unten abschätzen soll. Die Schranke ist doch ein Wert, für den alle Folgenglieder kleiner sind. Warum dann die Abschätzung nach unten?
Gruß
erha06
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Hiho,
> > Zeige: [mm]\bruch{n^2}{7n+2} \ge n[/mm] für [mm]n\ge 1[/mm].
> >
> > Das liefert dir dann das Gewünschte.
>
> Danke für deine Antwort. Allerdings ist diese Aussage
> falsch. (Gilt erst für [mm]n\ge 8[/mm]). Oder sollte ich sie
> widerlegen?
Warum sollte sie erst für $n [mm] \ge [/mm] 8$ gelten?
Ich stelle gerade fest, die Aussage ist falsch für alle natürlichen Zahlen, weil ich einen Flüchtigkeitsfehler gemacht hab 
Für [mm] $n\ge [/mm] 2$ gilt aber auf jedenfall:
[mm] $\bruch{n^2}{7n+2} \ge \bruch{n^2}{7n+n} [/mm] = [mm] \bruch{n^2}{8n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{8}$
[/mm]
> Ich verstehe auch nicht wirklich, warum ich nach unten
> abschätzen soll. Die Schranke ist doch ein Wert, für den
> alle Folgenglieder kleiner sind. Warum dann die
> Abschätzung nach unten?
Ich zitiere dich mal aus deinem ersten Post:
> Ich habe mir überlegt, zu zeigen, dass die Folge nicht beschränkt ist ("jede konvergente Folge ist beschränkt").
Du willst also zeigen, dass die Folge NICHT beschränkt ist, d.h. du musst zeigen, dass sie über ALLE Schranken hinaus wächst.
Das tust du, indem du es eben direkt zeigst, oder nach UNTEN durch eine Folge abschätzt, die gegen unendlich divergiert.
Was gilt denn für deine Folge [mm] $a_n$, [/mm] wenn du eine KLEINERE Folge findest, die gegen unendlich divergiert?
MFG,
Gono.
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Hiho,
> Wenn die kleinere Folge gegen unendlich divergiert, muss
> die größere Folge (also [mm]a_n[/mm]) auch gegen unendlich
> divergieren.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Blöde Frage: Muss man nun eigentlich auch noch zeigen,
> dass [mm]\bruch{n}{8}[/mm] divergent ist?
Das kommt darauf an, was ihr bisher gezeigt habt 
Aber ich würde mal sagen, dass du das nicht zeigen brauchst.
Andererseits kannst du mit dieser Abschätzung auch sofort zeigen, dass deine Folge unbeschränkt ist:
Wähle zu jeder vorgegebenen Schranke K $n [mm] \ge [/mm] 8K$ und dann gilt:
[mm] $a_n \ge \bruch{n}{8} \ge \bruch{8K}{8} \ge [/mm] K$
MFG,
Gono.
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