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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Sa 20.03.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie die Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{k^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k}) [/mm] |
Hallo.
In meiner Lösung steht:
Widerspruchsbeweis
Wir nehmen an, die Reihe sei konvergent. Da die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{k^2}) [/mm] konvergiert,müsste auch [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{k^2} [/mm] - [mm] (\bruch{1}{k^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k})) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{k}) [/mm] konvergieren. Doch die harmonische Reihe ist divergent.
Meine Frage nun: Wie komme ich darauf,dass ich diese Differenz betrachten muss? Gibt's auch eine andere Möglichkit?
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> Beweisen oder widerlegen Sie die Konvergenz der Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{k^2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{k})[/mm]
> Hallo.
>
> In meiner Lösung steht:
> Widerspruchsbeweis
> Wir nehmen an, die Reihe sei konvergent. Da die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{k^2})[/mm] konvergiert,müsste
> auch [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{k^2}[/mm] -
> [mm](\bruch{1}{k^2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{k}))[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{k})[/mm]
> konvergieren. Doch die harmonische Reihe ist divergent.
>
> Meine Frage nun: Wie komme ich darauf,dass ich diese
> Differenz betrachten muss?
Hallo,
"wie komme ich darauf?" ist immer schwierig...
Je besser man bescheid weiß, und je mehr man geübt hat, umso leichter kommt man auf eine gute Idee.
Ein Rezept gibt's nicht.
Wenn ich keine Idee hatte, hab' ich immer meine Vorlesungsmitschrift durchkämmt nach Sätzen, die passen könnten.
Ich erklär' Dir also lieber, warum der Beweis funktioniert:
Der Vorteil von Übungsaufgaben ist ja, daß sie auf das abgestimmt sind, was dran war.
Aus der Vorlesung weißt Du, daß für zwei konvergente Reihen [mm] \summe a_n [/mm] und [mm] \summe b_n [/mm] die Summe [mm] \summe (a_n+b_n) [/mm] ebenfalls konvergent ist, dh.
[mm] \summe a_n [/mm] und [mm] \summe b_n [/mm] konvergent ==> [mm] \summe (a_n+b_n) [/mm] konvergent.
Dein Widerspruchsbeweis läuft nun vom Prinzip her so, daß man annimmt, daß [mm] \summe (a_n+b_n) [/mm] konvergiert.
Man weiß, daß [mm] \summe a_n [/mm] konvergiert, also auch [mm] \summe (-a_n)
[/mm]
Aufgrund des oben aufgeschriebenen Satzes konvergiert [mm] \summe (a_n+b_n)+\summe (-a_n) =\summe b_n.
[/mm]
Das ist ein Widerspruch, denn [mm] \summe b_n [/mm] konvergiert bekanntlich nicht.
Also ist die Annahme, daß [mm] \summe (a_n+b_n) [/mm] konvergiert, falsch.
> Gibt's auch eine andere
> Möglichkit?
Bestimmt. Nach Rom führen ja auch mehrere Wege. Was schwebt Dir vor?
Gruß v. Angela
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