Divergente Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Di 02.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo liebe Mathe-Gemeinde,
kann mir jemand erklären, wie es sein kann, dass
divergente Reihen einen konkreten Wert annehmen
können?
So ist z.B. [mm] $\zeta(0)=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^0}=\summe_{n=1}^{\infty}1=-\frac{1}{2}$
[/mm]
Oder ein weiteres Beispiel :
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot n^2=0-1+4-9+16-25\cdots=0
[/mm]
Ich kenne die analytische Fortsetzung von der
geometrischen Reihe : [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$
[/mm]
Hat das hiermit zu tun?
Gruß
Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo liebe Mathe-Gemeinde,
>
> kann mir jemand erklären, wie es sein kann, dass
> divergente Reihen einen konkreten Wert annehmen
> können?
>
> So ist z.B.
> [mm]\zeta(0)=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^0}=\summe_{n=1}^{\infty}1=-\frac{1}{2}[/mm]
Unsinn !
Zunächst ist die [mm] \zeta- [/mm] Funktion def. durch
(*) [mm] \zeta(s)=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s},
[/mm]
für s [mm] \in \IC [/mm] mit Re(s)>1.
Nun kann man zeigen, dass sich [mm] \zeta [/mm] auf ganz [mm] \IC [/mm] meromorph fortsetzen lässt. Sie hat einen Pol in s=1 und ist auf [mm] \IC \setminus \{1\} [/mm] holomorph.
Für s=0 gilt natürlich nicht die Darstellung von [mm] \zeta [/mm] aus (*).
>
> Oder ein weiteres Beispiel :
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot n^2=0-1+4-9+16-25\cdots=0[/mm]
Wo hast Du denn diesen Unsin her ??????
FRED
>
> Ich kenne die analytische Fortsetzung von der
> geometrischen Reihe :
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}[/mm]
>
> Hat das hiermit zu tun?
>
> Gruß
> Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Di 02.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Fred,
> > Hallo liebe Mathe-Gemeinde,
> >
> > kann mir jemand erklären, wie es sein kann, dass
> > divergente Reihen einen konkreten Wert annehmen
> > können?
> >
> > So ist z.B.
> >
> [mm]\zeta(0)=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^0}=\summe_{n=1}^{\infty}1=-\frac{1}{2}[/mm]
>
> Unsinn !
>
> Zunächst ist die [mm]\zeta-[/mm] Funktion def. durch
>
> (*) [mm]\zeta(s)=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s},[/mm]
>
> für s [mm]\in \IC[/mm] mit Re(s)>1.
>
> Nun kann man zeigen, dass sich [mm]\zeta[/mm] auf ganz [mm]\IC[/mm] meromorph
> fortsetzen lässt. Sie hat einen Pol in s=1 und ist auf [mm]\IC \setminus \{1\}[/mm]
> holomorph.
>
> Für s=0 gilt natürlich nicht die Darstellung von [mm]\zeta[/mm]
> aus (*).
>
So weit ich weiß, ist [mm] $-\frac{1}{2}$ [/mm] auch der Wert der Spur
der unendlichen Einheitsmatrix, also wieder [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}1$
[/mm]
>
> >
> > Oder ein weiteres Beispiel :
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot n^2=0-1+4-9+16-25\cdots=0[/mm]
>
> Wo hast Du denn diesen Unsin her ??????
>
Maple sagt mir das, wenn ich die Formel eingebe.
>
> >
> > Ich kenne die analytische Fortsetzung von der
> > geometrischen Reihe :
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}[/mm]
> >
> > Hat das hiermit zu tun?
> >
> > Gruß
> > Kai
>
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Hallo liebe Mathe-Gemeinde,
> > >
> > > kann mir jemand erklären, wie es sein kann, dass
> > > divergente Reihen einen konkreten Wert annehmen
> > > können?
> > >
> > > So ist z.B.
> > >
> >
> [mm]\zeta(0)=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^0}=\summe_{n=1}^{\infty}1=-\frac{1}{2}[/mm]
> >
> > Unsinn !
> >
> > Zunächst ist die [mm]\zeta-[/mm] Funktion def. durch
> >
> > (*) [mm]\zeta(s)=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s},[/mm]
> >
> > für s [mm]\in \IC[/mm] mit Re(s)>1.
> >
> > Nun kann man zeigen, dass sich [mm]\zeta[/mm] auf ganz [mm]\IC[/mm] meromorph
> > fortsetzen lässt. Sie hat einen Pol in s=1 und ist auf [mm]\IC \setminus \{1\}[/mm]
> > holomorph.
> >
> > Für s=0 gilt natürlich nicht die Darstellung von [mm]\zeta[/mm]
> > aus (*).
> >
>
> So weit ich weiß, ist [mm]-\frac{1}{2}[/mm] auch der Wert der Spur
> der unendlichen Einheitsmatrix, also wieder
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}1[/mm]
Langsam dämmerts mir, woher das alles weht.
1. Ich hab Dir schon geschrieben, dass man die [mm] \zeta [/mm] - Funktion holomorph auf [mm] \IC \setminus \{1\} [/mm] fortsetzen kann (http://www.matha.rwth-aachen.de/de/lehre/ws07/sft/v12mh.pdf).
Diese Fortsetzung wird wieder [mm] \zeta [/mm] genannt und man hat:
[mm] \zeta(0)=-\bruch{1}{2}
[/mm]
2. Die n x n - Einheitsmatrix [mm] E_n [/mm] hat die Spur
[mm] tr(E_N)=n.
[/mm]
(tr = trace = Spur)
Für die unendliche Einheitsmatrix E gilt dann:
[mm] tr(E)=\limes_{n\rightarrow\infty}tr(E_n)= \infty.
[/mm]
Manchen gefällt das nicht und diese Leute wollen der Matrix E einen endlichen Wert zuordnen.
Motiviert durch
[mm] \zeta(s)=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} [/mm] (Re(s)>1)
und
" [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^0} [/mm] "
(beachte die Anführungszeichen " ")
und
[mm] \zeta(0)=-1/2,
[/mm]
setzt man
tr(E)=-1/2.
>
> >
> > >
> > > Oder ein weiteres Beispiel :
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot n^2=0-1+4-9+16-25\cdots=0[/mm]
>
> >
> > Wo hast Du denn diesen Unsin her ??????
> >
> Maple sagt mir das, wenn ich die Formel eingebe.
Dann trete Maple in die Mülltonne. Obige Reihe ist divergent. Punkt.
FRED
> >
> > >
> > > Ich kenne die analytische Fortsetzung von der
> > > geometrischen Reihe :
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}[/mm]
> > >
> > > Hat das hiermit zu tun?
> > >
> > > Gruß
> > > Kai
> >
> Gruß
> Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Di 02.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Fred,
> > > > Oder ein weiteres Beispiel :
> > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot n^2=0-1+4-9+16-25\cdots=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wo hast Du denn diesen Unsin her ??????
> > >
> > Maple sagt mir das, wenn ich die Formel eingebe.
>
>
> Dann trete Maple in die Mülltonne. Obige Reihe ist
> divergent. Punkt.
>
Und was ist mit [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{k^2}{2^k}\right)$?
[/mm]
Wie wir wissen konvergiert [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{k^2}{a^k}\right)$ [/mm] gegen [mm] $\bruch{a\cdot(a+1)}{(a-1)^3}$.
[/mm]
Einsetzen von -1 in a ergibt : [mm] $\bruch{(-1)\cdot(-1+1)}{(-1-1)^3}=0$
[/mm]
Und damit haben wir die Identität [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\left((-1)^k\cdot{k^2}\right)=0$
[/mm]
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Di 02.04.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Kai!
> Hallo Fred,
>
> > > > > Oder ein weiteres Beispiel :
> > > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot n^2=0-1+4-9+16-25\cdots=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Wo hast Du denn diesen Unsin her ??????
> > > >
> > > Maple sagt mir das, wenn ich die Formel eingebe.
> >
> >
> > Dann trete Maple in die Mülltonne. Obige Reihe ist
> > divergent. Punkt.
> >
>
> Und was ist mit
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{k^2}{2^k}\right)[/mm]?
> Wie wir wissen konvergiert
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{k^2}{a^k}\right)[/mm] gegen
> [mm]\bruch{a\cdot(a+1)}{(a-1)^3}[/mm].
Wie wir wissen konvergiert diese Reihe nur für [mm]|a|>1[/mm] (siehe ![[]](/images/popup.gif) Wolframalpha)
> Einsetzen von -1 in a ergibt :
> [mm]\bruch{(-1)\cdot(-1+1)}{(-1-1)^3}=0[/mm]
>
> Und damit haben wir die Identität
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\left((-1)^k\cdot{k^2}\right)=0[/mm]
Eben nicht.
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Di 02.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Fulla,
> > Wie wir wissen konvergiert
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{k^2}{a^k}\right)[/mm] gegen [mm]\bruch{a\cdot(a+1)}{(a-1)^3}[/mm].
>
> Wie wir wissen konvergiert diese Reihe nur für [mm]|a|>1[/mm]
> (siehe
> Wolframalpha)
>
Was uns nicht daran hindert, den Gültigkeitsbereich dieser
Gleichheit auszuweiten.
> > Einsetzen von -1 in a ergibt :
> > [mm]\bruch{(-1)\cdot(-1+1)}{(-1-1)^3}=0[/mm]
> >
> > Und damit haben wir die Identität
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\left((-1)^k\cdot{k^2}\right)=0[/mm]
>
> Eben nicht.
Sollte Maple sich in dieser Beziehung derart irren?
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Di 02.04.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Fulla,
>
> > > Wie wir wissen konvergiert
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{k^2}{a^k}\right)[/mm]
> gegen [mm]\bruch{a\cdot(a+1)}{(a-1)^3}[/mm].
> >
> > Wie wir wissen konvergiert diese Reihe nur für [mm]|a|>1[/mm]
> > (siehe
> >
> Wolframalpha)
> >
>
> Was uns nicht daran hindert,
Nimm "uns" bitte nicht in Sippenhaft. Nur weil du irgendwelche Hemmungen verloren hast...
Ein Konvergenzradius ist nicht nur mathematisch-folkloristisches Beiwerk, sondern harte Realität.
Gruß Abakus
> den Gültigkeitsbereich
> dieser
> Gleichheit auszuweiten.
>
> > > Einsetzen von -1 in a ergibt :
> > > [mm]\bruch{(-1)\cdot(-1+1)}{(-1-1)^3}=0[/mm]
> > >
> > > Und damit haben wir die Identität
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\left((-1)^k\cdot{k^2}\right)=0[/mm]
> >
> > Eben nicht.
>
> Sollte Maple sich in dieser Beziehung derart irren?
>
> Gruß
> Kai
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fulla,
>
> > > Wie wir wissen konvergiert
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{k^2}{a^k}\right)[/mm]
> gegen [mm]\bruch{a\cdot(a+1)}{(a-1)^3}[/mm].
> >
> > Wie wir wissen konvergiert diese Reihe nur für [mm]|a|>1[/mm]
> > (siehe
> >
> Wolframalpha)
> >
>
> Was uns nicht daran hindert, den Gültigkeitsbereich
> dieser
> Gleichheit auszuweiten.
Was soll das denn nun bedeuten ???????
>
> > > Einsetzen von -1 in a ergibt :
> > > [mm]\bruch{(-1)\cdot(-1+1)}{(-1-1)^3}=0[/mm]
> > >
> > > Und damit haben wir die Identität
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\left((-1)^k\cdot{k^2}\right)=0[/mm]
> >
> > Eben nicht.
>
> Sollte Maple sich in dieser Beziehung derart irren?
Nun pass mal auf: die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left((-1)^k\cdot{k^2}\right) [/mm] ist divergent !!!
Punkt, aus fertig !
Was Maple oder der Papst Dazu sagen, ist mir Wurscht. Genauso ist es mir Wurscht, wenn in China ein Sack Reis umfällt.
Ich habe fertig.
FRED
>
> Gruß
> Kai
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Di 02.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo,
es gibt keinen Grund gleich so ausfallend zu werden.
Ich möchte hier nur auf die Lerchsche Phi-Funktion
verweisen, die definiert ist als [mm] $\Phi(z;s;\alpha)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{(n+\alpha)^s}$
[/mm]
Dann ist [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^n\cdot n^2)=\Phi(-1;-2;0)=0$.
[/mm]
Die "divergente" Reihe ist somit in die Phi-Funktion eingebettet.
Nachtrag : Berechnungstechnisch ist es geschickter,
[mm] $\Phi(-1;-s;0)$ [/mm] über [mm] $-\Phi(-1;-s;1)$ [/mm] zu bestimmen.
Das ist eine legitime Index-Verschiebung, da [mm] $0^s=0$.
[/mm]
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> es gibt keinen Grund gleich so ausfallend zu werden.
Niemand wurde ausfallend !
>
> Ich möchte hier nur auf die Lerchsche Phi-Funktion
> verweisen, die definiert ist als
> [mm]\Phi(z;s;\alpha)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{(n+\alpha)^s}[/mm]
Kümmerst Du Dich auch mal darum, wo Funktionen definiert sind ?
FRED
>
> Dann ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^n\cdot n^2)=\Phi(-1;-2;0)=0[/mm].
>
> Die "divergente" Reihe ist somit in die Phi-Funktion
> eingebettet.
>
> Gruß
> Kai
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Mi 03.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Fred,
> Kümmerst Du Dich auch mal darum, wo Funktionen definiert
> sind ?
>
Fulla hatte ja mit dem auf WolframAlpha angegebenen
Konvergenzradius argumentiert.
WolframAlpha bestätigt nun, dass [mm]\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^n\cdot n^2)=\Phi(-1;-2;0)=0[/mm].
Und dieses Tool berücksichtigt ja wohl den
korrekten Definitionsbereich.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Mi 03.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Kümmerst Du Dich auch mal darum, wo Funktionen definiert
> > sind ?
> >
>
> Fulla hatte ja mit dem auf WolframAlpha angegebenen
> Konvergenzradius argumentiert.
>
> WolframAlpha bestätigt nun, dass
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^n\cdot n^2)=\Phi(-1;-2;0)=0[/mm].
> Und dieses Tool berücksichtigt ja wohl den
> korrekten Definitionsbereich.
>
> Gruß
> Kai
Langsam frage ich mich, was diese ganze Diskussion eigentlich soll.
Die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}((-1)^n\cdot n^2)
[/mm]
war, ist und bleibt divergent.
Was WolframAlpha oder Maple oder sonst ein Tool dazu sagen , ist völlig irrelevant
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Mi 03.04.2013 | | Autor: | sometree |
Hallo kaju35,
du scheinst ein anderes wolframalpha zu benutzen als ich.
Mir sagt wolframalpha, dass die Reihe nicht konvergiert:
[mm] http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_%28n%3D0%29^infty+%28-1%29^n+n^2
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Mi 03.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo sometree,
Das stimmt schon. Wenn Du in WolframAlpha
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{k^2}{(-1)^k}\right) [/mm] $
eingibst, so konvergiert die Summe nicht.
Aber die Summe entspricht formell einem
Spezialfall der Lerchschen Phi-Funktion, die als
[mm] $\Phi(z;s;\alpha)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{(n+\alpha)^s}$ [/mm] definiert ist.
Also ist [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^{-2}}=\Phi(-1;-2;0)$
[/mm]
Wenn Du das in WolframAlpha eingibst, ist das Ergebnis 0.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Mi 03.04.2013 | | Autor: | sometree |
> Hallo sometree,
>
> Das stimmt schon. Wenn Du in WolframAlpha
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{k^2}{(-1)^k}\right)[/mm]
> eingibst, so konvergiert die Summe nicht.
Gut. Damit kann die Reihe insbesondere keinen Wert annehmen.
> Aber die Summe entspricht formell der Lerchschen
> Phi-Funktion, die als
> [mm]\Phi(z;s;\alpha)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{(n+\alpha)^s}[/mm]
> definiert ist.
Aber sicher nur dort wo die rechte Reihe definiert ist.
> Also ist
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^{-2}}=\Phi(-1;-2;0)[/mm]
> Wenn Du das in WolframAlpha eingibst, ist das Ergebnis 0.
Woher du die erste Gleichheit ist mir absolut schleierhaft
Folgt man den Links bei wolframalpha sieht man wo diese Gleichheit gilt:
http://mathworld.wolfram.com/LerchTranscendent.html
Da wo es gerne hättest ist aus gutem Grund (es stimmt nicht) nicht dabei.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 Mi 03.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo sometree,
>
> Das stimmt schon. Wenn Du in WolframAlpha
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{k^2}{(-1)^k}\right)[/mm]
> eingibst, so konvergiert die Summe nicht.
>
> Aber die Summe entspricht formell einem
> Spezialfall der Lerchschen Phi-Funktion, die als
> [mm]\Phi(z;s;\alpha)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{(n+\alpha)^s}[/mm]
> definiert ist.
Ich krieg die Krise !!!!!
Ich hab Dich gestern gefragt, ob Du Dich eigentlich um Definitionsbereiche scherst. Offensichtlich nicht !
[mm] \Phi [/mm] ist definiert für |z|<1 und [mm] \alpha \notin \{0,-1,-2, ...\}
[/mm]
FRED
>
> Also ist
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^{-2}}=\Phi(-1;-2;0)[/mm]
> Wenn Du das in WolframAlpha eingibst, ist das Ergebnis 0.
>
> Gruß
> Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Mi 03.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Kümmerst Du Dich auch mal darum, wo Funktionen definiert
> > sind ?
> >
>
> Fulla hatte ja mit dem auf WolframAlpha angegebenen
> Konvergenzradius argumentiert.
>
> WolframAlpha bestätigt nun, dass
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^n\cdot n^2)=\Phi(-1;-2;0)=0[/mm].
> Und dieses Tool berücksichtigt ja wohl den
> korrekten Definitionsbereich.
Wie kannst Du Dir da so sicher sein ?
Noch was zu obiger Reihe: ist [mm] (s_n) [/mm] die zugeh. Teilsummenfolge, so kann man leicht , mit Induktion, zeigen:
[mm] s_n=(-1)^n*\bruch{n(n+1)}{2}.
[/mm]
Wenn Deine elektronischen Tools recht hätten, so wäre [mm] (s_n) [/mm] eine Nullfolge.
Tatsächlich ist [mm] (s_n) [/mm] aber gaaaaaaaaaaaaaanz, gaaaaaaaaaaaaaaanz weit weg von dieser Eigenschaft, denn
[mm] |s_n|=\bruch{n(n+1)}{2} \to \infty [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
FRED
>
> Gruß
> Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> > Hallo Fred,
> >
> > > Kümmerst Du Dich auch mal darum, wo Funktionen definiert
> > > sind ?
> > >
> >
> > Fulla hatte ja mit dem auf WolframAlpha angegebenen
> > Konvergenzradius argumentiert.
> >
> > WolframAlpha bestätigt nun, dass
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^n\cdot n^2)=\Phi(-1;-2;0)=0[/mm].
> > Und dieses Tool berücksichtigt ja wohl den
> > korrekten Definitionsbereich.
>
> Wie kannst Du Dir da so sicher sein ?
>
> Noch was zu obiger Reihe: ist [mm](s_n)[/mm] die zugeh.
> Teilsummenfolge, so kann man leicht , mit Induktion,
> zeigen:
>
> [mm]s_n=(-1)^n*\bruch{n(n+1)}{2}.[/mm]
>
> Wenn Deine elektronischen Tools recht hätten, so wäre
> [mm](s_n)[/mm] eine Nullfolge.
>
> Tatsächlich ist [mm](s_n)[/mm] aber gaaaaaaaaaaaaaanz,
> gaaaaaaaaaaaaaaanz weit weg von dieser Eigenschaft, denn
>
> [mm]|s_n|=\bruch{n(n+1)}{2} \to \infty[/mm] für n [mm]\to \infty.[/mm]
jupp - oder noch einfacher:
[mm] $$(-1)^n \cdot n^2 \not\to 0\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kai,
> Hallo Fred,
>
> > Kümmerst Du Dich auch mal darum, wo Funktionen definiert
> > sind ?
> >
>
> Fulla hatte ja mit dem auf WolframAlpha angegebenen
> Konvergenzradius argumentiert.
>
> WolframAlpha bestätigt nun, dass
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^n\cdot n^2)=\Phi(-1;-2;0)=0[/mm].
> Und dieses Tool berücksichtigt ja wohl den
> korrekten Definitionsbereich.
es geht darum, dass Du klar machst, was da gemacht wurde. Wenn ich die
Funktion
$$f [mm] \colon \IR\setminus \{1\} \to \IR$$
[/mm]
mit [mm] $f(x):=(x^2-1)/(x-1)$ [/mm] betrachte, dann macht es keinen Sinn, zu fragen,
ob die Funktion an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] stetig ist. Die Stelle [mm] $1\,$ [/mm] gehört nicht
zum Definitionsbereich der Funktion.
Jetzt gehst Du hin und rechnest:
[mm] $$(x^2-1)/(x-1)=\tfrac{(x+1)*(x-1)}{x-1}$$
[/mm]
und "kürzt" einfach [mm] $x-1\,$ [/mm] raus - denn [mm] $x\,$ [/mm] kann ja eh nicht [mm] $1\,$ [/mm] sein. Und
dann sagst Du:
[mm] $$\red{f} \colon \IR \to \IR$$
[/mm]
mit [mm] $\red{f}(x):=x+1\,$ [/mm] ist aber stetig.
Was ist hier falsch? Naja, strenggenommen ist es falsch, dass ich [mm] $\red{f}$ [/mm] am Ende
schreibe: Eigentlich steht da eine neue Funktion, sie sollte etwa [mm] $g\,$ [/mm] heißen.
In diesem Sinne würde man oben sicher nicht fragen, ob $f [mm] \colon \IR \setminus \{1\} \to \IR$
[/mm]
mit [mm] $f(x):=(x^2-1)/(x-1)$ [/mm] an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] stetig ist. Es wäre die Frage,
ob diese Funktion "an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] stetig ergänzbar" ist. Und das ist
sie, wie die Funktion
$g [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x):=x+1\,$
[/mm]
zeigt. Denn: [mm] $g\,$ [/mm] ist stetig an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] und es gilt [mm] $g_{|\IR \setminus \{1\}}=f\,.$
[/mm]
Aus "Faulheitsgründen" würde man aber hier [mm] $g\,$ [/mm] auch als [mm] $f\,$ [/mm] schreiben und
"nur sagen, dass 'die neue Funktion [mm] $f\,$' [/mm] halt 'die alte Funktion [mm] $f\,$ [/mm] "erweitert" hat' "
- oder etwas in der Art.
Und genau so denkst Du bei Deinen Überlegungen auch: Klar ist, dass der
Bruch
[mm] $$(x^2-1)/(x-1)$$
[/mm]
an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] nicht definiert ist. Du rechnest jetzt einfach [mm] $(x^2-1)/(x-1)=x+1$ [/mm]
(was Du aber nur für [mm] $x\not=1$ [/mm] machen darfst, aber das interessiert Dich
dabei anscheinend dann nicht...) und sagst:
Na dann muss doch
[mm] $$0/0=(1^2-1)/(1-1)=1+1=2$$
[/mm]
sein.
Allerdings ist "$0/0$" nach wie vor i.a. undefiniert. Denn Du darfst halt
[mm] $(x^2-1)/(x-1)$ [/mm] schon nur für $x [mm] \not=1$ [/mm] hinschreiben.
P.S. Und im Sinne "stetiger Funktionen" würde allerdings die Gleichheit
[mm] $(x^2-1)/(x-1)=x+1$ [/mm] für $x [mm] \not=1$ [/mm] eben zeigen, dass
$$x [mm] \mapsto \frac{x^2-1}{x-1}\;\;\;(x \not=1)$$
[/mm]
an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] eben stetig ergänzbar ist.
Das ändert aber nichts daran, dass [mm] $(1^2-1)/(1-1)=0/0\,$ [/mm] nicht definiert ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Mi 03.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Marcel,
Danke für Deine ausführliche Antwort.
> es geht darum, dass Du klar machst, was da gemacht wurde.
> Und genau so denkst Du bei Deinen Überlegungen auch: Klar
> ist, dass der
> Bruch
> [mm](x^2-1)/(x-1)[/mm]
> an der Stelle [mm]1\,[/mm] nicht definiert ist. Du rechnest jetzt
> einfach [mm](x^2-1)/(x-1)=x+1[/mm]
> (was Du aber nur für [mm]x\not=1[/mm] machen darfst, aber das
> interessiert Dich
> dabei anscheinend dann nicht...) und sagst:
> Na dann muss doch
> [mm]0/0=(1^2-1)/(1-1)=1+1=2[/mm]
> sein.
>
Und wenn ich [mm] $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$ [/mm] mit
de l'Hopital berechne,
so ist doch [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] definiert
und in diesem Fall=2?
Womit ich meine stetige Ergänzung habe.
> Gruß,
> Marcel
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Mi 03.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
> >
>
> Und wenn ich [mm]\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}[/mm] mit
> de l'Hopital berechne,
> so ist doch [mm]\frac{0}{0}[/mm] definiert
> und in diesem Fall=2?
>
> Womit ich meine stetige Ergänzung habe.
>
Dann schreib das doch so. Prüfe, ob du de l'Hospital überhaupt nutzen darfst, und schreibe das ganze dann sauber auf.
So, wie du es am Anfang notiert hast, ist es jedenfalls falsch.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> Danke für Deine ausführliche Antwort.
>
> > es geht darum, dass Du klar machst, was da gemacht wurde.
> > Und genau so denkst Du bei Deinen Überlegungen auch: Klar
> > ist, dass der
> > Bruch
> > [mm](x^2-1)/(x-1)[/mm]
> > an der Stelle [mm]1\,[/mm] nicht definiert ist. Du rechnest
> jetzt
> > einfach [mm](x^2-1)/(x-1)=x+1[/mm]
> > (was Du aber nur für [mm]x\not=1[/mm] machen darfst, aber das
> > interessiert Dich
> > dabei anscheinend dann nicht...) und sagst:
> > Na dann muss doch
> > [mm]0/0=(1^2-1)/(1-1)=1+1=2[/mm]
> > sein.
> >
>
> Und wenn ich [mm]\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}[/mm] mit
> de l'Hopital berechne,
> so ist doch [mm]\frac{0}{0}[/mm] definiert
> und in diesem Fall=2?
nein, dann ist nur
[mm] $$\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$$
[/mm]
bewiesen!
(Was übrigens auch direkt aus
[mm] $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x \to 1}(x+1)=(\lim_{x \to 1}x)+1=1+1=2$$
[/mm]
folgt. Beachte: In der Notation [mm] $\lim_{x \to x_0}$ [/mm] meint man immer [mm] $\lim_{x_0 \not=x \to x_0}\,;$ [/mm] vgl.
Definition 10.4 (klick!)).
Sonst argumentiere ich so:
Es ist [mm] $0/0\red{\;=\;}\lim_{x \to 0} [/mm] x/x=1$ und auch [mm] $0/0\red{\;=\;}\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2\,,$
[/mm]
also folgt [mm] $1=0/0=2\,,$ [/mm] also [mm] $1=2\,.$ [/mm] Unsinn, oder? (Die roten Gleichheitszeichen sind
schlicht FALSCH!)
Die roten Gleichheitszeichen bleiben falsch - bei de l'Hospital sollte man
auch nicht vom Fall [mm] $0/0\,$ [/mm] reden, sondern von [mm] "$0/0\,$".
[/mm]
Das bedeutet eben, dass es nicht um den Ausdruck [mm] $0/0\,$ [/mm] geht, sondern
eben um [mm] $\lim_{x \to x_0} [/mm] (f(x)/g(x))$ mit [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)=0=\lim_{x \to x_0}g(x)\,.$
[/mm]
Wenn Dich das zu sehr verwirrt, dann schreibe lieber anstatt [mm] "$0/0\,$" [/mm] wirklich
bei den Fällen das hier
[mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)=0=\lim_{x \to x_0}g(x)$
[/mm]
hin. Das ist die saubere Variante! Die andere nur eine "Kurznotation".
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Fred,
>
> > Kümmerst Du Dich auch mal darum, wo Funktionen definiert
> > sind ?
> >
>
> Fulla hatte ja mit dem auf WolframAlpha angegebenen
> Konvergenzradius argumentiert.
>
> WolframAlpha bestätigt nun, dass
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^n\cdot n^2)=\Phi(-1;-2;0)=0[/mm].
> Und dieses Tool berücksichtigt ja wohl den
> korrekten Definitionsbereich.
dass [mm] $\Phi(-1;-2;0)=0\,$ [/mm] ist, hat mit der Definition von [mm] $\Phi$ [/mm] zu tun.
Sicherlich ist dann aber
[mm] $$\Phi(-1;-2;0)=0 \red{\;=\;}\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^n\cdot n^2)$$
[/mm]
das rote Gleichheitszeichen falsch. (Und damit ist auch [mm] $\Phi(-1;-2;0)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,n^2$ [/mm] FALSCH!)
Wäre es richtig, so müsste insbesondere [mm] $(-1)^n n^2 \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gelten. Zeig' mir mal, wie Du
das beweist/beweisen willst?!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Mi 03.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo,
ich habe da etwas gefunden, was meiner Idee
schon sehr nahe kommt : Ramanujan-Summe
Insbesondere fasziniert mich die schlichte Form :
[mm] $1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}(\mathfrak{R})$
[/mm]
Darüber hinaus hat Ramanujan herausgefunden, dass
[mm] $1+2^{2\cdot k}+3^{2\cdot k}+\cdots=0(\mathfrak{R})$
[/mm]
für gerade Exponenten und
[mm] $1+2^{2\cdot k-1}+3^{2\cdot k-1}+\cdots=-\frac{B_{2\cdot k}}{2\cdot k}(\mathfrak{R})$
[/mm]
für ungerade Exponenten.
Was meint Ihr dazu?
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Mi 03.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe da etwas gefunden, was meiner Idee
> schon sehr nahe kommt :
Von welcher Idee sprichst D ?
FRED
> Ramanujan-Summe
>
> Insbesondere fasziniert mich die schlichte Form :
>
> [mm]1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}(\mathfrak{R})[/mm]
>
> Darüber hinaus hat Ramanujan herausgefunden, dass
>
> [mm]1+2^{2\cdot k}+3^{2\cdot k}+\cdots=0(\mathfrak{R})[/mm]
>
> für gerade Exponenten und
>
> [mm]1+2^{2\cdot k-1}+3^{2\cdot k-1}+\cdots=-\frac{B_{2\cdot k}}{2\cdot k}(\mathfrak{R})[/mm]
>
> für ungerade Exponenten.
>
> Was meint Ihr dazu?
>
> Gruß
> Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Mi 03.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Fred,
ich spreche von meiner Idee, divergenten
Reihen endliche Werte zuzuordnen. Es
könnte ja Formen geben, wo die Reihe
in eine allgemeinere Funktion eingebettet
ist (wie z.B. [mm] $\zeta(-1)=1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}$).
[/mm]
Tut mir leid, wenn ich meine Absicht nicht
streng mathematisch formulieren kann.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo liebe Mathe-Gemeinde,
>
> kann mir jemand erklären, wie es sein kann, dass
> divergente Reihen einen konkreten Wert annehmen
> können?
wie kommst Du auf sowas? Kennst Du die Definition von "Divergenz einer
Folge"? Weißt Du, was eine Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] erstmal rein per Definitionem
überhaupt ist?
> So ist z.B.
> [mm]\zeta(0)=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^0}=\summe_{n=1}^{\infty}1=-\frac{1}{2}[/mm]
Unsinn, siehe Freds Antwort!
> Oder ein weiteres Beispiel :
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot n^2=0-1+4-9+16-25\cdots=0[/mm]
Das ist ein genauso schlimmer Unsinn: Du behauptest hier, dass die Folge [mm] $(s_n)_n$ [/mm] mit
[mm] $$s_n:=\sum_{k=0}^n (-1)^n n^2$$
[/mm]
eine Nullfolge ist.
(Also wäre [mm] $(0,\;-1,\;3,\;-6,\;10,\;-15,\;21,\;-28...)$ [/mm] laut Deiner Behauptung eine Nullfolge!
Sogar intuitiv wird das schon keiner glauben, weil es ja so aussieht, als
wenn der Betrag der Folgenglieder (streng) monoton wächst! Wenn Du
Lust hast, kannst Du ja mal versuchen, diese Behauptung von mir zu
beweisen!)
Dass dem nicht so ist, ist ja schon fast trivial. Wäre das eine Nullfolge, so
wäre sie insbesondere konvergent, also eine Cauchyfolge. Es ist aber für
jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] offenbar
[mm] $$|s_{n+1}-s_n|=(n+1)^2 \ge 1\,.$$
[/mm]
Daraus kannst Du sofort folgern, dass hier keine Cauchyfolge
zugrundeliegen kann - insbesondere also auch keine konvergente Folge!
P.S. Noch einfacher: Weil [mm] $(-1)^n n^2 \not\to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gilt, divergiert [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot n^2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mi 03.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Marcel,
> > kann mir jemand erklären, wie es sein kann, dass
> > divergente Reihen einen konkreten Wert annehmen
> > können?
>
> wie kommst Du auf sowas? Kennst Du die Definition von
> "Divergenz einer Folge"?
Eine Folge ist divergent, wenn sie nicht konvergiert.
> Weißt Du, was eine Reihe [mm]\sum_{k=0}^\infty a_k[/mm]
> erstmal rein per Definitionem überhaupt ist?
Eine Reihe ist die Summe der ersten k Folge-Glieder.
Wenn [mm] $(a_k)$ [/mm] keine Nullfolge ist, so ist [mm] $s_n:=\sum_{k=0}^{n}a_k$ [/mm]
divergent (notwendiges Kriterium).
Stimmt's?
Gruß
Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > > kann mir jemand erklären, wie es sein kann, dass
> > > divergente Reihen einen konkreten Wert annehmen
> > > können?
> >
> > wie kommst Du auf sowas? Kennst Du die Definition von
> > "Divergenz einer Folge"?
>
> Eine Folge ist divergent, wenn sie nicht konvergiert.
darum geht's nicht: Ich will das ausgeschrieben sehen. Also so:
Eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] (etwa) reeller Zahlen heißt divergent, wenn gilt: Für jede
Zahl $r [mm] \in \IR$ [/mm] existiert ein [mm] $\varepsilon=\varepsilon(r) [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] derart, dass...
(Kurz und knapp: Eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] heißt in [mm] $\IR$ [/mm] divergent, wenn es keine Zahl
$r [mm] \in \IR$ [/mm] gibt, gegen die sie konvergiert!
Beachte übrigens: Die Aussage "Es gibt ein [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$ so, dass es zu jedem $m [mm] \in \IN$ [/mm]
ein $n [mm] \ge [/mm] m$ gibt, so dass [mm] $|a_n-a| \ge \varepsilon_0$ [/mm] ist!" ist nicht die Verneinung davon, dass
[mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert. Es bedeutet "nur", dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] NICHT GEGEN [mm] $a\,$ [/mm] konvergiert!
Und eine Folge, die gegen [mm] $2\,$ [/mm] konvergiert, wird aber sicher auch nicht
gegen [mm] $3\,$ [/mm] konvergieren...)
> > Weißt Du, was eine Reihe [mm]\sum_{k=0}^\infty a_k[/mm]
> > erstmal rein per Definitionem überhaupt ist?
>
> Eine Reihe ist die Summe der ersten k Folge-Glieder.
Von welcher Folge? Du meinst die Folge der Summanden! Und besser sagt
man "Eine Reihe ist die Folge ihrer Teilsummen", d.h.:
Erstmal ist [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] nur eine Notation für die Folge [mm] $(s_n)_n$
[/mm]
mit
[mm] $$s_n:=\sum_{k=0}^n a_k\,.$$
[/mm]
> Wenn [mm](a_k)[/mm] keine Nullfolge ist, so ist
> [mm]s_n:=\sum_{k=0}^{n}a_k[/mm]
> divergent (notwendiges Kriterium).
Ja, das stimmt:
Die Aussage
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] ist (etwa) in [mm] $\IR$ [/mm] konvergent [mm] $\Rightarrow$ $(a_n)_n$ [/mm] ist Nullfolge
gilt, und die Kontraposition von "$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$" ist eben [mm] "$(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A)$", und
diese Aussagen sind äquivalent.
Und daraus folgt sofort die Divergenz von [mm] $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\;n^2\,,$ [/mm] insbesondere
auch, dass diese Reihe keinen Wert in [mm] $\IR$ [/mm] annehmen kann.
Dass man dieser Reihe oder der Folge ihrer Teilsummen in gewissen
Situationen evtl. "einen sinnvollen Wert" zuordenn kann, das ist eine
andere Frage - man ordnet dann der Reihe im Sinne ihrer Definition als
Folge ihrer Teilsummen, also eigentlich der Folge, einen Wert zu. Das ist
doch nur eine Funktion, die man da definiert. Aber sicherlich kann man
dann der Folge der Teilsummen nicht den Grenzwert der Folge zuordnen,
wenn dieser denn gar nicht existiert.
Beispiel:
Ich definiere eine Funktion $f [mm] \colon \IR^{\IN} \to \IR$ [/mm] wie folgt:
Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Folge, so sei
[mm] $$f((a_n)_n):=\lim_{n \to \infty} a_n\,.$$
[/mm]
Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] divergent (damit sind auch die Fälle [mm] $a_n \to -\;\infty$ [/mm] oder [mm] $a_n \to \infty$ [/mm] gemeint; [mm] $\,-\;\infty,\;\infty \notin \IR$),
[/mm]
so sei
[mm] $$f((a_n)_n):=-1\,.$$
[/mm]
Daraus folgt dann aber noch lange nicht, dass [mm] $(-1)^n \to [/mm] -1$ gilt - es ist
vielmehr [mm] $((-1)^n)_n$ [/mm] nach wie vor divergent!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 03.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Marcel,
also die Definition von Konvergenz einer Folge [mm] $(a_n)_n$
[/mm]
ist : [mm] $\exists a:\forall \epsilon>0: \exists [/mm] n : [mm] \forall m\ge n:|a_m-a|<\epsilon$.
[/mm]
Dann konvergiert die Folge gegen a.
Die Verneinung dieser Definition ist :
[mm] $\forall a:\exists \epsilon>0: \forall [/mm] n : [mm] \exists m\ge n:|a_m-a|\ge \epsilon$.
[/mm]
Aber wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] für alle [mm] $a\in\mathbb{R}$ [/mm] nicht
konvergiert, ist sie doch divergent, oder?
Gruß
Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:33 Do 04.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kai,
> Hallo Marcel,
>
> also die Definition von Konvergenz einer Folge [mm](a_n)_n[/mm]
> ist : [mm]\exists a:\forall \epsilon>0: \exists n : \forall m\ge n:|a_m-a|<\epsilon[/mm].
>
> Dann konvergiert die Folge gegen a.
>
> Die Verneinung dieser Definition ist :
> [mm]\forall a:\exists \epsilon>0: \forall n : \exists m\ge n:|a_m-a|\ge \epsilon[/mm].
wichtig ist dabei, dass das [mm] $\epsilon=\epsilon(a)\,,$ [/mm] also in Abhängigkeit von
[mm] $a\,$ [/mm] existieren darf. (Axiom96 hatte auch mal eine andere Variante
geschrieben und dann wurde gezeigt, dass die zu obiger äquivalent
ist - obige ist die "direkte Verneinung von 'Konvergenz' einer Folge [mm] $(a_n)_n$".)
[/mm]
Übrigens geht das auch aus der Notation hervor, das hast Du richtig
geschrieben:
[mm] "$\forall a\in \IR \exists \epsilon...$" [/mm] bedeutet, dass es für jedes $a$ ein (zu dem [mm] $a\,$ [/mm] passendes) [mm] $\epsilon$ [/mm] gibt... Um das
etwas zu verdeutlichen, schreibt man oft auch [mm] $\forall [/mm] a [mm] \in \IR \exists \epsilon=\epsilon(a)...$
[/mm]
Ist Dir der Unterschied zu [mm] $\exists \epsilon [/mm] > [mm] 0\; \forall [/mm] a [mm] \in \IR$ [/mm] klar?
> Aber wenn [mm](a_n)_n[/mm] für alle [mm]a\in\mathbb{R}[/mm] nicht
> konvergiert, ist sie doch divergent, oder?
Der Satz macht so keinen Sinn (ob eine Folge konvergiert, hängt ja nicht
von einem $a [mm] \in \IR$ [/mm] ab - eine Folge ist eben ENTWEDER konvergent ODER ABER divergent):
Wenn für jedes $a [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] NICHT GEGEN [mm] $a\,$
[/mm]
konvergiert, dann ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] divergent. Vielleicht meintest Du das aber
auch so und hast Dich nur schlecht ausgedrückt?!
(Das Konvergenzverhalten einer Folge kann also nur sein: Entweder sie
konvergiert, oder sie divergiert. Wenn sie (in [mm] $\IR$) [/mm] konvergiert, dann gibt
es natürlich auch nur genau ein $a [mm] \in \IR\,,$ [/mm] gegen das sie konvergiert.
Sie kann nicht gleichzeitig gegen ein [mm] $\tilde{a} \in \IR \setminus \{a\}$ [/mm] konvergieren!
Aber sie bleibt nichtsdestotrotz "konvergent gegen [mm] $a\,.$")
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Do 04.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Marcel,
> Ist Dir der Unterschied zu [mm]\exists \epsilon > 0\; \forall a \in \IR[/mm]
> klar?
[mm]\forall a:\exists \epsilon=\epsilon(a)>0: \forall n : \exists m\ge n:|a_m-a|\ge \epsilon(a)[/mm]
bedeutet ja, dass für jedes [mm] $a\in\mathbb{R}$ [/mm] ein [mm] $\epsilon=\epsilon(a)$ [/mm] existiert,
so dass [mm] $\forall [/mm] n : [mm] \exists m\ge n:|a_m-a|\ge \epsilon(a)$.
[/mm]
Diese Beziehung gilt auch für [mm] $\forall \epsilon [/mm] < [mm] \epsilon(a)$.
[/mm]
Oder umgangssprachlich : Wenn ich [mm] $\epsilon$ [/mm] (in Abhängigkeit von $a$)
richtig wähle, so gibt es für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] ein größeres
Element, das betragsmäßig weit genug von a liegt.
[mm] $\forall a:\exists \epsilon$ [/mm] oder weniger missverständlich [mm] $\exists\epsilon:\forall [/mm] a$ hingegen
sagt aus, dass es ein [mm] $\epsilon$ [/mm] gibt, so dass für alle $a$ gilt,
dass [mm] $\forall [/mm] n : [mm] \exists m\ge n:|a_m-a|\ge \epsilon$ [/mm] gilt, was nicht der Fall ist.
Für ein $a$ kann [mm] $\epsilon=0.001$ [/mm] sein, für ein anderes [mm] $0.2\cdots$
[/mm]
>
> > Aber wenn [mm](a_n)_n[/mm] für alle [mm]a\in\mathbb{R}[/mm] nicht
> > konvergiert, ist sie doch divergent, oder?
>
> Der Satz macht so keinen Sinn (ob eine Folge konvergiert,
> hängt ja nicht
> von einem [mm]a \in \IR[/mm] ab - eine Folge ist eben ENTWEDER
> konvergent ODER ABER divergent):
> Wenn für jedes [mm]a \in \IR[/mm] gilt, dass [mm](a_n)_n[/mm] NICHT GEGEN
> [mm]a\,[/mm]
> konvergiert, dann ist [mm](a_n)_n[/mm] divergent. Vielleicht
> meintest Du das aber
> auch so und hast Dich nur schlecht ausgedrückt?!
Ja.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Do 04.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo Marcel,
>
> > Ist Dir der Unterschied zu [mm]\exists \epsilon > 0\; \forall a \in \IR[/mm]
> > klar?
>
> [mm]\forall a:\exists \epsilon=\epsilon(a)>0: \forall n : \exists m\ge n:|a_m-a|\ge \epsilon(a)[/mm]
>
> bedeutet ja, dass für jedes [mm]a\in\mathbb{R}[/mm] ein
> [mm]\epsilon=\epsilon(a)[/mm] existiert,
> so dass [mm]\forall n : \exists m\ge n:|a_m-a|\ge \epsilon(a)[/mm].
>
> Diese Beziehung gilt auch für [mm]\forall \epsilon < \epsilon(a)[/mm].
>
> Oder umgangssprachlich : Wenn ich [mm]\epsilon[/mm] (in
> Abhängigkeit von [mm]a[/mm])
> richtig wähle, so gibt es für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] ein
> größeres
> Element, das betragsmäßig weit genug von a liegt.
>
> [mm]\forall a:\exists \epsilon[/mm]
jetzt schreibst Du ja das Gleiche wie eben. Das bedeutet dann auch das
Gleiche wie das, was Du eben sagtest, und nicht das, was jetzt kommt!
Die Notation [mm] $\forall [/mm] a: [mm] \exists \epsilon=\epsilon(a)$ [/mm] ist genau das Gleiche wie [mm] $\forall [/mm] a: [mm] \exists \epsilon\,,$ [/mm]
nur [mm] $\forall [/mm] a: [mm] \exists \epsilon=\epsilon(a)$ [/mm] schreibt man, wenn man "didaktisch" nochmal drauf aufmerksam
machen will, dass das [mm] $\epsilon$ [/mm] eben "nicht universell" gemeint ist -
anders gesagt: Wenn solch' ein [mm] $\epsilon$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $a\,$ [/mm] gewählt werden
darf. In dem Sinne wird in der Notation [mm] $\forall [/mm] a: [mm] \exists \epsilon=\epsilon(a)$ [/mm] nur die
Bedeutung von [mm] $\forall [/mm] a: [mm] \exists \epsilon$ [/mm] "extra nochmal betont".
> oder weniger missverständlich
> [mm]\exists\epsilon:\forall a[/mm] hingegen
Das ist jetzt eine neue Aussage!
> sagt aus, dass es ein [mm]\epsilon[/mm] gibt, so dass für alle [mm]a[/mm]
> gilt,
Genau: Man sagt dann auch "ein 'für alle [mm] $a\,$ [/mm] universelles' [mm] $\epsilon\,.$"
[/mm]
Wobei ich diese Sprechweise auch nur bei einer (mittlerweile verstorbenen)
Professorin mal gesehen habe; ansonsten eigentlich noch nicht. Ich finde
sie aber vernünftig!
> dass [mm]\forall n : \exists m\ge n:|a_m-a|\ge \epsilon[/mm] gilt,
> was nicht der Fall ist.
> Für ein [mm]a[/mm] kann [mm]\epsilon=0.001[/mm] sein, für ein anderes
> [mm]0.2\cdots[/mm]
>
> >
> > > Aber wenn [mm](a_n)_n[/mm] für alle [mm]a\in\mathbb{R}[/mm] nicht
> > > konvergiert, ist sie doch divergent, oder?
> >
> > Der Satz macht so keinen Sinn (ob eine Folge konvergiert,
> > hängt ja nicht
> > von einem [mm]a \in \IR[/mm] ab - eine Folge ist eben ENTWEDER
> > konvergent ODER ABER divergent):
> > Wenn für jedes [mm]a \in \IR[/mm] gilt, dass [mm](a_n)_n[/mm] NICHT GEGEN
> > [mm]a\,[/mm]
> > konvergiert, dann ist [mm](a_n)_n[/mm] divergent. Vielleicht
> > meintest Du das aber
> > auch so und hast Dich nur schlecht ausgedrückt?!
>
> Ja.
In dem Sinne war es inhaltlich richtig gemeint, aber sprachlich inhaltlich
falsch formuliert.
Gruß,
Marcel
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