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| Aufgabe | | Wahr oder falsch: Jede divergente Folge ist unbeschränkt |
Hallo. Diese Aufgabe stammt aus einem multiple Choice Teil, wurde mit "falsch" beantwortet und für richtig befunden. Was ist denn an dieser Antwort richtig? Welche divergente Folge ist denn bitte schön nicht unbeschränkt? Ich glaubs einfach nicht...
Grüße, kulli
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> Wahr oder falsch: Jede divergente Folge ist unbeschränkt
> Hallo. Diese Aufgabe stammt aus einem multiple Choice
> Teil, wurde mit "falsch" beantwortet und für richtig
> befunden. Was ist denn an dieser Antwort richtig? Welche
> divergente Folge ist denn bitte schön nicht unbeschränkt?
> Ich glaubs einfach nicht...
>
[mm] (-1)^{n} [/mm] ist beschränkt und divergent.
eine Folge mit 2 (oder mehr) Häufungspunkten ist glaube ich auch divergent und beschränkt. So eine könnte man sich glaube ich aus 2 konvergenten Teilfolgen, die sich gegenseitig "abwechseln", bauen ;) Den Versuch will ich allerdings nicht starten ;)
> Grüße, kulli
LG Scherzkrapferl
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Hi! Na gut, dann werde ich das so hinnehmen. Ich dachte immer, dass alternierende Folgen wie [mm] (-1)^{n} [/mm] weder konvergieren noch divergieren und das man erst bei einer Teilfolge eine solche Aussage treffen kann.
Grüße, kullio
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:32 So 29.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi! Na gut, dann werde ich das so hinnehmen. Ich dachte
> immer, dass alternierende Folgen wie [mm](-1)^{n}[/mm] weder
> konvergieren noch divergieren
das macht doch keinen Sinn. Genau die nicht konvergenten Folgen sind per Definitionem divergent. Wie soll dann eine Folge weder konvergent, und damit divergent (per Definitionem), als auch nicht divergent sein?
Und das [mm] $((-1)^n)_{n \in \IN}$ [/mm] nicht konvergent (in [mm] $\IR\,,$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm] oder ...) sein kann, ist leicht nachzuweisen. Durchaus auch per Definitionem des Begriffes/der Begriffe "Konvergenz/Grenzwert".
P.S.:
Ich vermute, dass "Deine Verwirrung" daher kam, dass Du irgendwas mit der "mengentheoretischen Aussage": "Es gibt Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind" verwechselt hast.
Aber schau' Dir das mal genau an: Man sagt dort auch nicht, dass eine Menge genau dann abgeschlossen sei, wenn sie nicht offen wäre. Sondern man sagt, dass eine Menge genau dann abgeschlossen ist, wenn das Komplement offen ist. Die im letzten Satz stehende Definition besagt auch etwas komplett anderes als das, was imvorletzten Satz steht. Dazu schaue man sich mal haloboffene Intervalle [mm] $\subseteq \IR$ [/mm] an!
Gruß,
Marcel
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Ja, das ist sicherlich leicht nachzuweisen. Ich habe mit Divergenz immer ein stetiges "Wachstum" verbunden. Das nächste mal schaue ich erstmal in die Definition, bevor ich hier einen neuen Artikel starte. Ich war eben fassungslos...
Grüße, kulli
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:59 So 29.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, das ist sicherlich leicht nachzuweisen. Ich habe mit
> Divergenz immer ein stetiges "Wachstum" verbunden.
es gibt auch sowas wie "bestimmte Divergenz gegen [mm] $\pm \infty$". [/mm] Mit dem Begriff "stetig" würde ich bei Folgen gar nicht wirklich arbeiten: Folgen sind stets stetige Abbildungen. Du meintest sicher sowas wie "monotones Wachstum".
> Das
> nächste mal schaue ich erstmal in die Definition, bevor
> ich hier einen neuen Artikel starte. Ich war eben
> fassungslos...
Behalte Dir halt erstmal: In [mm] $\IR$ [/mm] bzw. [mm] $\IC$ [/mm] konvergente Folgen sind genau die Folgen, die genau einen Häufungspunkt haben (der in [mm] $\IR$ [/mm] bzw. [mm] $\IC$ [/mm] liegt - und [mm] $\infty \notin \IC$).
[/mm]
Daher sind Folgen mit endlichen vielen verschiedenen Häufungspunkten natürlich die Kandidaten, die divergente beschränkte Folgen sein könnten. Unter denen muss man nur solche auswählen, die auch keine unbeschränkte Teilfolge enthalten.
Und natürlich ist [mm] $((-1)^n)_n$ [/mm] da ein "Standardkandidat".
P.S.:
Es gibt auch Folgen mit unendlich vielen Häufungspunkten:
Konstruktion einer solchen folgt etwa dem folgenden Schema:
Man betrachtet "das unendliche Dreieck"
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
.......
.......
.......
und "durchläuft dieses von oben nach unten und innerhalb einer Zeile von links nach rechts, um die Folgenglieder zu definieren.
Also
[mm] $$1=:a_1=:a_2=:a_4=:a_7=:a_{11}=:\ldots$$
[/mm]
[mm] $$2=:a_3=:a_5=:a_8=:a_{12}=:\ldots$$
[/mm]
[mm] $$3=:a_6=:a_9=:a_{13}=:\ldots$$
[/mm]
Die so konstruierte Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] enthält jedes $n [mm] \in \IN=\IN\setminus \{0\}$ [/mm] als Häufungspunkt.
Gruß,
Marcel
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Hi, ja ich meinte "monotones Wachstum". Nach dem was du geschrieben hast, merke ich, wieviel ich schon wieder vergessen hatte. Bei der Stoffmenge neigt man wirklich zum Vergessen... Ärgerlich wenn es so etwas wichtiges ist.
Grüße, kulli
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 So 29.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Du mußt doch nur nachschauen wie "divergent" def. wurde:
Eine Folge [mm] (a_n) [/mm] reeller (oder komplexer ) Zahlen heißt divergent, wenn [mm] (a_n) [/mm] nicht konvergent ist.
FRED
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