Divergent? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Do 10.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo , habe hier zwei Reihen und versteh nicht ganz wieso diese divergent sind, da doch eigentlich wenn etwas gegen 0 läuft konvergiert oder?
also:
1) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{3k-2} [/mm]
2) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{-1}{k+1} [/mm]
bitte um kurze info warum divergent und mit welchem verfahren das am besten nachzuweisen ist, denn mit wurzel-und quotientenkriterium kommt =1 heraus und ´somit ist keine Ausage möglich!
lg Surfer
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> Hallo , habe hier zwei Reihen und versteh nicht ganz wieso
> diese divergent sind, da doch eigentlich wenn etwas gegen 0
> läuft konvergiert oder?
> also:
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> 1) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{3k-2}[/mm]
> 2) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{-1}{k+1}[/mm]
>
> bitte um kurze info warum divergent und mit welchem
> verfahren das am besten nachzuweisen ist, denn mit
> wurzel-und quotientenkriterium kommt =1 heraus und ´somit
> ist keine Ausage möglich!
>
> lg Surfer
Hallo Surfer,
Wenn die einzelnen Summanden (Glieder) einer unendlichen
Reihe gegen 0 streben, folgt daraus keineswegs schon, dass
auch die Summe der Reihe konvergiert.
Das einfachste Beispiel von der Sorte ist die "harmonische
Reihe"
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm]
Um zu zeigen, dass sie keine endliche Summe haben kann,
hilft die folgende Zerlegung:
[mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{9}+......
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+(\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4})+(\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}+\bruch{1}{8})+(\bruch{1}{9}+.....+\bruch{1}{16} [/mm] ) [mm] +(\bruch{1}{17}+.....+\bruch{1}{32})+......
[/mm]
Nun macht man sich klar, dass jeder Klammerausdruck grösser
als [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein muss, und dass die Reihe immer noch
unendlich viele Summanden hat...
Deine Summen sind sehr analog wie dieses Standardbeispiel.
Falls du zur Argumentation Integrale verwenden darfst, gäbe
es noch einen kürzeren Weg. Normalerweise wird aber ja die
Summation von Reihen als Grundlage benützt, um dann
darauf aufbauend den Integralbegriff erst einmal zu definieren.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Do 10.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Kappier ich irgendwie nicht, die Reihe geht doch gegen 0 oder?
Nochmal eine andere Reihe, die angeblich mit dem Wurzelkriterium zu lösen ist nur wie?:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3-(-1)^{k}}{2^{k}}
[/mm]
Wie zeige ich dies mit dem Wurzelkriterium?
bitte kurzes vorrechnen wie ich die Wurzel auf die einzelnen Komponenten aufsplitten darf?
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> Kappier ich irgendwie nicht, die Reihe geht doch gegen 0
> oder?
Die Folge der Reihenglieder ist eine Nullfolge, das stimmt, beide Reihen divergieren aber
Dass die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge bildet, ist lediglich notwendiges Kriterium, aber kein hinreichendes.
Dh. es gilt [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k$ [/mm] existiert [mm] $\Rightarrow (a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] ist Nullfolge
ABER es gilt NICHT (!!)
[mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] ist Nullfolge [mm] $\Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k$ [/mm] existiert
Das bekannste Bsp. ist die harmonische Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$. [/mm] Da bilden die [mm] $(a_k)_{k\in\IN}=\left(\frac{1}{k}\right)_{k\in\IN}$ [/mm] zwar eine Nullfolge, die harmonische Reihe ist aber divergent
Deine beiden Reihen im Ausgangspost kannst du jeweils gegen Varianten der harmonischen Reihe abschätzen, also gegen eine divergente Minorante abschätzen
(Bei der 2.Reihe kannst du vllt. einfacher mal $-1$ aus dem Zähler vor die Reihe ziehen...)
>
> Nochmal eine andere Reihe, die angeblich mit dem
> Wurzelkriterium zu lösen ist nur wie?:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3-(-1)^{k}}{2^{k}}[/mm]
>
> Wie zeige ich dies mit dem Wurzelkriterium?
Bestimmen musst du ja [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}$, [/mm] also den größten Häufungswert der Folge der Reihenglieder.
Dazu schreibe dir mal die [mm] $a_k$ [/mm] für gerades und für ungerades k auf ...
Dann siehst du's schon...
>
> bitte kurzes vorrechnen wie ich die Wurzel auf die
> einzelnen Komponenten aufsplitten darf?
>
> lg Surfer
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Do 10.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Dann würde ich aber für ungerade n werte erhalten wie 2 ... 1/2 ... 1/8...
und für gerade werte 1/2 ... 1/8 ... 1/32 ...
und was schleiße ich daraus beides geht auf Werte zu < 1 und somit Konvergent? oder?
lg Surfer
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Hallo nochmal,
> Dann würde ich aber für ungerade n werte erhalten wie 2 ...
> 1/2 ... 1/8...
> und für gerade werte 1/2 ... 1/8 ... 1/32 ...
Hmmm...
> und was schleiße ich daraus beides geht auf Werte zu < 1
> und somit Konvergent? oder?
Schreibe doch mal die beiden Teilfolgen [mm] $(a_{2k})$ [/mm] und [mm] $(a_{2k+1})$ [/mm] mal explizit hin, also die Bildungsvorschriften.
Dann lasse auf beide das Wurzelkriterium los, berechne also den [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_{2k}|}$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_{2k+1}|}$..
[/mm]
Was ergibt sich damit für den [mm] $\limsup$?
[/mm]
Und was besagt das Wurzelkriterium folglich?
> lg Surfer
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Do 10.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Wenn ich doch das Wurzelkriterium anwende hätte ich doch :
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|\bruch{3-(-1)^{k}}{2^{k}}|} [/mm] und wenn ich die Wurzel nun aufsplitte habe ich doch:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} {|\bruch{\wurzel[k]{3}-(-1)}{2}|} [/mm] oder wie splitte ich das auf?
lg Surfer
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Hallo nochmal,
wieso befolgst du denn die gut gemeinten Tipps nicht?
Für k gerade ist doch [mm] $a_k=\frac{3-(-1)^k}{2^k}=\frac{3-1}{2^k}=\frac{2}{2^k}$
[/mm]
Also hast du für gerade k die Teilfolge [mm] $(a_{2k})_{k\in\IN}=\left(\frac{2}{2^k}\right)_{k\in\IN}$
[/mm]
Und für k ungerade ist [mm] $a_k=\frac{3-(-1)^k}{2^k}=\frac{3+1}{2^k}=\frac{4}{2^k}$
[/mm]
Also für ungerade k die Teilfolge [mm] $(a_{2k+1})_{k\in\IN}=\left(\frac{4}{2^k}\right)_{k\in\IN}$
[/mm]
Davon nun [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\frac{2}{2^k}\right|}$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\frac{4}{2^k}\right|}$ [/mm] berechnen
Dann den größeren rauspicken ...
LG
schachuzipus
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