Distributionsgesetz Faltung < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Fr 23.07.2010 | | Autor: | AddIDaS |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von
[mm]f(x)=x\left(e^{-2x^2}\*e^{-|x|}\right)[/mm] |
Kann ich bei einer Faltung das vorangestellte x in die klammer einbringen oder sollte ich zuerst Transformieren und dann die Faltung im Frequenzbereich berechnen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Kroni |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
deine Funktion, von der du die Fourier-Transformierte (FT) berechnen sollst, schaut also so aus wie
$f(x) = x g(x)$.
Wenn wir die FT nun so definieren:
[mm] $\tilde{f}(k) [/mm] = [mm] \int\mathrm{d}x \, e^{\mathrm{i}kx}f(x)$
[/mm]
dann koennen wir hier $f(x) = xg(x)$ einsetzen, also
[mm] $\tilde{f}(k) [/mm] = [mm] \int\mathrm{d}x \, e^{\mathrm{i}kx} [/mm] xg(x)$
Das koennen wir jetzt in eine Ableitung nach $k$ umschreiben, da doch [mm] $\frac{\partial}{\partial k } e^{\mathrm{i}kx} [/mm] = [mm] \mathrm{i}x e^{\mathrm{i}kx}$ [/mm] gilt:
[mm] $\tilde{f}(k) [/mm] = [mm] \int\mathrm{d}x \, e^{\mathrm{i}kx} [/mm] xg(x) = [mm] \frac{1}{\mathrm{i}} \int\mathrm{d}x \, \frac{\partial}{\partial k } e^{\mathrm{i}kx} [/mm] g(x)$
Da man davon ausgeht, dass die Funktion hinreichend schoene Eigenschaften hat, kann man jetzt die Ableitung nach $k$ aus dem Integral ziehen, und hat dann (mit [mm] $\frac{1}{\mathrm{i}} [/mm] = [mm] -\mathrm{i}$):
[/mm]
[mm] $\tilde{f}(k) [/mm] = [mm] -\mathrm{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k} \int\mathrm{d}x \, e^{\mathrm{i}kx} [/mm] g(x)$
also
[mm] $\tilde{f}(k) [/mm] = [mm] -\mathrm{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k} \tilde{g}(k)$
[/mm]
D.h. in Prosa:
Man kann einfach die Fouriertransformierte von $g(x)$ berechnen, was ja mit der Faltung auch wieder schoen einfach geht, dann das Ergebnis nach $k$ ableiten, und dann noch den Vorfaktor beruecksichtigen, dann hast du die FT von deiner kompletten Funktion da stehen.
Da du evtl. eine andere Def. der FT da hast (andere Vorfaktoren, anderes Vorzeichen in der $e$-Funktion, ist noch etwas Vorsicht geboten, d.h. du musst die Vorfaktoren noch selber mit deiner Def. hinbiegen, aber das prinzipielle Vorgehen ist das selbe).
LG
Kroni
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