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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:50 So 29.04.2007 | | Autor: | Hund |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum und [mm] M\subseteq [/mm] X. Für x aus X ist die Distanz zu M definiert als:
[mm] d_{M}(x)=inf [/mm] {d(x,a);a aus M}
a) Man zeige: [mm] d_{M}(x)=d_{\overline{M}}(x)
[/mm]
b)Für [mm] M:={(x,y);x²+y²<1}\subseteq [/mm] IR² berechne man [mm] d_{M}((2,1)) [/mm] in den l-Normen 1, 2 und unendlich. |
Hallo,
also a) hab ich so gemacht:
Sei [mm] d:=d_{\overline{M}}, [/mm] ziege:
inf {d(x,a);a aus M}=d. (1)
Es gilt inf M = m genau dann, wenn:
(i) [mm] m\lex [/mm] für alle x aus M
(ii) es gibt eine Folge in M die gegen m konvergiert.
Das versuche ich jetzt in (1) zu zeigen:
(i) ist klar wegen {d(x,a);a aus [mm] M}\subseteq [/mm] {d(x,b); b aus [mm] \overline{M}}.
[/mm]
(ii) Wegen d=inf {d(x,b); b aus [mm] \overline{M}} [/mm] gibt es eine Folge von Abständen aus der Menge, die gegen d konvergiert, also gibt es eine Folge [mm] (b_{n})\subseteq \overline{M}, [/mm] so dass
[mm] d(x,b_{n})\tod.
[/mm]
Weil [mm] \overline{M} [/mm] der Abschluss von M ist, kann zu jedem [mm] b_{n} [/mm] aus [mm] \overline{M} [/mm] ein [mm] a_{n} [/mm] aus M gewählt werden, so dass:
[mm] d(a_{n},b_{n})<\bruch{1}{n}.
[/mm]
Also gilt:
[mm] d(x,a_{n}) [/mm] konvergiert gegen d.
Somit ist (ii) erfüllt und die Behauptung gezeigt. Ist das so richtig?
Aber wie mache ich b)? Es reicht ja den Abstand zum Rand zu bestimmen. Kann ich ja über Extremwerte machen. Aber geht das nicht einfacher?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 So 29.04.2007 | | Autor: | Hund |
Ich meine im letzten Satz nicht Rand, sonder Abschluss. Aber wie kann ich das den ausrechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 30.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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