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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Mi 17.10.2007 | | Autor: | KlinT |
| Aufgabe | [mm] f_{a}(x)=\bruch{8}{x^{2}+3a^{2}} [/mm] a>0, [mm] D=\IR
[/mm]
[mm] W_{1}=(a|\bruch{2}{a^{2}}); W_{2}=(-a|\bruch{2}{a^{2}})
[/mm]
1) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente und der Normalen der Schar [mm] f_{a} [/mm] im Wendepunkt [mm] W_{1}.
[/mm]
2) Die Tangente aus 1) schneidet die y-Achse im Punkt A, die Normale aus 1) schneidet die y-Achse im Punkt B. Berechnen sie die Länge der Strecke [mm] \overline{AB}.
[/mm]
3) Ermitteln Sie den Wert a so, dass das Verhältnis der Diagonalen im Drachenviereck [mm] AW_{1}BW_{2}, [/mm] also [mm] \overline{AB}:\overline{W_{1}W_{2}} [/mm] extremal wird. Untersuchen sie die Art des Extremums.
4) Geben Sie eine Beziehung zwischen den Koordinaten x und y (x,y>0) an, sodass der Punkt P(x|y) des 1. Quadranten auf keiner Scharkurve von [mm] f_{a} [/mm] liegt. |
Zu 1) und 2):
nach meinen Berechnungen:
Tangente: [mm] g_{a}(x)=-\bruch{1}{a^{3}}*x+\bruch{3}{a^{2}}
[/mm]
Normale: [mm] h_{a}(x)=a^{3}*x+\bruch{2-a^{6}}{a^2}
[/mm]
[mm] A(0|\bruch{3}{a^{2}}); B(0|\bruch{2-a^{6}}{a^2})
[/mm]
[mm] \overline{AB}=|\vektor{0 \\ \bruch{3}{a^{2}}}-\vektor{0 \\ \bruch{2-a^{6}}{a^2}}=|\vektor{0 \\ \bruch{1-a^{6}}{a^2}}=\bruch{1-a^{6}}{a^{2}}
[/mm]
Ich hoffe das stimmt soweit. Probleme bereiten mir jetzt die Aufgaben 3) und 4). Mir fehlt der Ansatz und ich weiß nicht weiter. Sollte es jemanden geben, der eine Idee zur Lösung der Aufgaben hat, wäre es großartig, wenn er mich an dieser Teilhaben ließe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
KlinT
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo KlinT!
Berechnen wir uns doch zunächst die beiden Werte der Streckenlängen (bzw. verwenden das Ergebnis aus Aufgabe 2.):
[mm] $$\overline{W_1W_2} [/mm] \ = \ [mm] \left| +a-(-a) \right| [/mm] \ = \ |2a| \ = \ 2a$$
[mm] $$\overline{AB} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+a^6}{a^2}$$
[/mm]
Daraus bilden wir uns nun die "Verhältnisfunktion" $q(a)_$ :
$$q(a) \ = \ [mm] \bruch{\overline{AB}}{\overline{W_1W_2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1+a^6}{a^2}}{2a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+a^6}{2*a^3}$$
[/mm]
Für diese Funktion $q(a)_$ musst Du nun eine Extremwertberechnung durchführen (Nullstellen der 1. Ableitung etc.).
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo KlinT!
Führe hier für die Funktionsschar [mm] $f_a(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8}{x^2+3a^2}$ [/mm] eine Grenzwertbetrachtung [mm] $a\rightarrow [/mm] 0$ durch.
Damit erhältst Du die gesuchte Beziehung als "Grenzfunktion" $g(x)_$ , deren Graph als obere Grenzkurve im 1. Quadranten liegt. D.h. keine Kurve der Schar (mit keinem Punkt!) liegt oberhalb dieser Grenzkurve.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Mi 17.10.2007 | | Autor: | KlinT |
Vielen vielen Dank, dass du so schnell und kompetent antworten konntest.
gruß klint
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen - und zwar ein Vorzeichenfehler. Es muss heißen:
