Diskriminante quadr. Gleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Fr 13.07.2012 | | Autor: | hula |
Hallöchen
Wenn ich eine Gleichung habe
$$a [mm] \phi^2 [/mm] +2 b [mm] \phi [/mm] + [mm] c\ge [/mm] 0$$
wobei $a,b,c$ Konstanten sind und diese Gleichung für alle [mm] $\phi \in \mathbb{R}$ [/mm] gelten. Wieso folgt dann, dass
[mm] $$|b|\le \sqrt{ab}$$
[/mm]
Dankeschöön
hula
|
|
| |
|
Hallo hula,
> Hallöchen
>
> Wenn ich eine Gleichung habe
>
> [mm]a \phi^2 +2 b \phi + c\ge 0[/mm]
>
> wobei [mm]a,b,c[/mm] Konstanten sind und diese Gleichung für alle
> [mm]\phi \in \mathbb{R}[/mm] gelten. Wieso folgt dann, dass
>
> [mm]|b|\le \sqrt{ab}[/mm]
>
Das muss wohl so lauten:
[mm]\vmat{b} \le \wurzel{a\blue{c}}[/mm]
Das folgt durch simple Umformung
unter der Voraussetzung, dass [mm]a > 0[/mm] ist.
Damit dann aus dem Produkt a*c,
die Wurzel gezogen werden kann,
muß [mm]c \ge 0[/mm] gelten.
> Dankeschöön
>
> hula
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Fr 13.07.2012 | | Autor: | hula |
Hallöchen MathPower
Genau, $a,c [mm] \ge [/mm] 0$ und dort sollte wirklich ein $c$ anstatt $b$ stehen. Wie geht dann die Umformung? Entschuldige, aber ich sehe sie nicht ein:)
Dankeschöön
hula
|
|
|
| |
|
Hi!
> Hallöchen MathPower
>
> Genau, [mm]a,c \ge 0[/mm] und dort sollte wirklich ein [mm]c[/mm] anstatt [mm]b[/mm]
> stehen. Wie geht dann die Umformung? Entschuldige, aber ich
> sehe sie nicht ein:)
>
> Dankeschöön
>
> hula
Veranschaulicht stellt deine Gleichung doch eine Parabel dar, die Keine Schnittpunkte (Möglicherweise einen Berührpunkt) mit der [mm] \phi-Achse [/mm] besitzt, da [mm] a \phi^2 +2 b \phi + c\red{\ge} 0 [/mm] .
Nach der Mitternachts (bzw. Abc)-Formel gilt doch:
[mm]\phi_{1,2}=\frac{-2b\pm \sqrt{4b^2-4ac}}{2a}[/mm]
Damit die Parabel nun aber keine Schnittpunkte mit der [mm] \phi-Achse [/mm] besitzt, muss die Diskriminante kleiner oder gleich Null sein:
[mm] $4b^2-4ac\le [/mm] 0$
[mm] $\Rightarrow |b|\le\sqrt{ac}$
[/mm]
Valerie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Fr 13.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
beser mit quadratischer Ergänzung, [mm] y=\phi
[/mm]
[mm] a(y^2+2b/a+b^2/a^2)-b^2/a [/mm] +c [mm] \ge0
[/mm]
[mm] a(y+b/a)^2-b^2/a [/mm] +c [mm] \ge0
[/mm]
der erste term ist immer [mm] \ge [/mm] 0 also muss auch der 2 te Term
[mm] -b^2/a [/mm] +c [mm] \ge [/mm] 0 sein daraus deine Ungl.
Gruss leduart
|
|
|
|
