Diskriminant Normierte Polynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mo 30.01.2017 | | Autor: | Joseph95 |
| Aufgabe | | Für [mm] \alpha \in \IC [/mm] bezeichnen wir mit [mm] t_\alpha [/mm] : [mm] \IC[X] \to \IC[X] [/mm] den Homomorphismus, der auf [mm] \IC [/mm] die Identität ist und [mm] t_\alpha(X) [/mm] = X + [mm] \alpha [/mm] erfüllt. Zeige, dass disc(f) = [mm] disc(t_\alpha(f)) [/mm] für jedes normierte Polynom f [mm] \in \IC[X] [/mm] und jedes [mm] \alpha \in \IC [/mm] gilt. |
Hey Leute,
ich bräuchte nochmal eure Hifle... Ich habe bei der oben genannten Aufgabe leider keinen Ansatz. Könnte ich die Aufgabe in Zusammenarbeit mit den hier interessierten bearbeiten? Ich würde mich diesbezüglich sehr freuen. :)
Mit freundlichen Grüßen,
Joseph95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Mo 30.01.2017 | | Autor: | hippias |
Wie bestimmst Du die Diskriminante eines Polynoms [mm] $g\in \IC[X]$?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Mo 30.01.2017 | | Autor: | Joseph95 |
Naja, ich habe für die Definition der Diskriminante wie folgt:
Da wir uns in [mm] \IC[X] [/mm] bewegen, haben wir ja nur eine Unbekannte, weshalb sich die Diskriminante wie folgt bestimmen lässt:
Da wir uns in [mm] \IC [/mm] befinden, lässt sich nach dem FundamentalSatz der Linearen Algebra das Polynom in linear Faktoren aufteilen.
Sprich unser f wäre ein Polynom der Darstellung:
f = [mm] \produkt_{i=1}^{n} (X-a_i) [/mm] , wobei [mm] a_i [/mm] die Nullstellen des Polynoms sind. Die Diskriminante wäre dann wie folgt:
disc(f) = [mm] \produkt_{i
Aber in wie weit bringt mir das hier weiter?
Joseph95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Mo 30.01.2017 | | Autor: | hippias |
Die Berechnung kann durch Kenntniss der Nullstellen erfolgen. Wie hängen die Nullstellen vo $f$ und [mm] $t_{\alpha}(f)$ [/mm] zusammen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mo 30.01.2017 | | Autor: | Joseph95 |
Ich würde mal denken, dass die Nullstellen um [mm] \alpha [/mm] verschoben sind, oder? Da ich ja f lediglich um [mm] \alpha [/mm] verschiebe... oder irre ich mich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:57 Di 31.01.2017 | | Autor: | fred97 |
> Ich würde mal denken, dass die Nullstellen um [mm]\alpha[/mm]
> verschoben sind, oder? Da ich ja f lediglich um [mm]\alpha[/mm]
> verschiebe... oder irre ich mich?
Wie wäre es mit ein wenig Einsatz ..... ?
1. Was ist [mm] t_{\alpha}(X^k) [/mm] ?
2. Was ist [mm] t_{\alpha}(f) [/mm] , wenn [mm] f=a_nX^n+....+a_1X+a_0 [/mm] ?
3. Wie hängen die Nullstellen von f und [mm] t_{\alpha}(f) [/mm] zusammen ?
Rechnen , knobeln, überlegen, auf die Schnauze fallen, wieder knobeln..., so macht man Mathematik.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:21 Di 31.01.2017 | | Autor: | Joseph95 |
Zu den Fragen würde ich sagen:
1) [mm] t_\alpha(X^k) [/mm] = [mm] X^k [/mm] + [mm] \alpha
[/mm]
2) [mm] t_a(f) [/mm] = [mm] X^n [/mm] + [mm] a_{n-1}X^{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-2}X^{n-2} [/mm] + ... + + [mm] a_{1}X^{1} [/mm] + [mm] a_0 [/mm] + [mm] \alpha
[/mm]
3) Sei [mm] x_n_1 [/mm] beispielweise eine Nullstelle für f, dann würde man für [mm] t_\alpha(f) [/mm] anstatt 0 [mm] \alpha [/mm] raus bekommen. In [mm] t_\alpha(f) [/mm] müsste das Polynom ohne [mm] \alpha [/mm] für Nullstellen - [mm] \alpha [/mm] raus kommen, damit sich beides aufhebt und 0 als Ergebnis kommt. Ich habe mich an der Aufgabe fest gebissen, weiß aber nicht wie ich damit weiter komme...
Bitte um Hilfe :((
Joseph95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Di 31.01.2017 | | Autor: | hippias |
> Zu den Fragen würde ich sagen:
> 1) [mm]t_\alpha(X^k)[/mm] = [mm]X^k[/mm] + [mm]\alpha[/mm]
Das ist nicht richtig: [mm] $t_{\alpha}$ [/mm] ist ein Ringhomomorphismus!
> 2) [mm]t_a(f)[/mm] = [mm]X^n[/mm] + [mm]a_{n-1}X^{n-1}[/mm] + [mm]a_{n-2}X^{n-2}[/mm] + ... +
> + [mm]a_{1}X^{1}[/mm] + [mm]a_0[/mm] + [mm]\alpha[/mm]
S.o.
>
> 3) Sei [mm]x_n_1[/mm] beispielweise eine Nullstelle für f, dann
> würde man für [mm]t_\alpha(f)[/mm] anstatt 0 [mm]\alpha[/mm] raus bekommen.
> In [mm]t_\alpha(f)[/mm] müsste das Polynom ohne [mm]\alpha[/mm] für
> Nullstellen - [mm]\alpha[/mm] raus kommen, damit sich beides aufhebt
> und 0 als Ergebnis kommt. Ich habe mich an der Aufgabe fest
> gebissen, weiß aber nicht wie ich damit weiter komme...
Das ist richtig vermutet. Gehe damit in die Formel für die Diskriminante.
>
> Bitte um Hilfe :((
>
>
> Joseph95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 Di 31.01.2017 | | Autor: | Joseph95 |
Stimmt... Wir setzen ja für X nun X + [mm] \alpha [/mm] ein, weshalb wir für [mm] t_\alpha(X^k) [/mm] = (X + [mm] \alpha)^k [/mm] bekommen, oder?
für das Polynom von f in [mm] t_\alpha(f) [/mm] würden wir dann erhalten:
$ [mm] t_a(f) [/mm] $ = $ [mm] (X+\alpha)^n [/mm] $ + $ [mm] a_{n-1}(X+\alpha)^{n-1} [/mm] $ + $ [mm] a_{n-2}(X+\alpha)^{n-2} [/mm] $ + ... + + $ [mm] a_{1}(X+\alpha)^{1} [/mm] $ + $ [mm] a_0 [/mm] $
Ist das denn so richtig?
Setze ich nun das in:
[mm] disc(t_\alpha(f)) [/mm] ein, dann erhalte ich ja [mm] (-1)^\frac{n*(n-1)}{2} [/mm] res(f, f')
Wieso ist dies nun gleich der disc(f)??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Di 31.01.2017 | | Autor: | hippias |
> Stimmt... Wir setzen ja für X nun X + [mm]\alpha[/mm] ein, weshalb
> wir für [mm]t_\alpha(X^k)[/mm] = (X + [mm]\alpha)^k[/mm] bekommen, oder?
>
> für das Polynom von f in [mm]t_\alpha(f)[/mm] würden wir dann
> erhalten:
> [mm]t_a(f)[/mm] = [mm](X+\alpha)^n[/mm] + [mm]a_{n-1}(X+\alpha)^{n-1}[/mm] +
> [mm]a_{n-2}(X+\alpha)^{n-2}[/mm] + ... + + [mm]a_{1}(X+\alpha)^{1}[/mm] +
> [mm]a_0[/mm]
>
> Ist das denn so richtig?
Ja.
>
> Setze ich nun das in:
> [mm]disc(t_\alpha(f))[/mm] ein, dann erhalte ich ja
> [mm](-1)^\frac{n*(n-1)}{2}[/mm] res(f, f')
>
> Wieso ist dies nun gleich der disc(f)??
Das ist Deine Hausaufgabe!! Aber vielleicht gehst Du nocheinmal Deine eigenen Texte in diesem Faden durch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Di 31.01.2017 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt... Wir setzen ja für X nun X + [mm]\alpha[/mm] ein, weshalb
> wir für [mm]t_\alpha(X^k)[/mm] = (X + [mm]\alpha)^k[/mm] bekommen, oder?
>
> für das Polynom von f in [mm]t_\alpha(f)[/mm] würden wir dann
> erhalten:
> [mm]t_a(f)[/mm] = [mm](X+\alpha)^n[/mm] + [mm]a_{n-1}(X+\alpha)^{n-1}[/mm] +
> [mm]a_{n-2}(X+\alpha)^{n-2}[/mm] + ... + + [mm]a_{1}(X+\alpha)^{1}[/mm] +
> [mm]a_0[/mm]
>
> Ist das denn so richtig?
Ja.
>
> Setze ich nun das in:
> [mm]disc(t_\alpha(f))[/mm] ein, dann erhalte ich ja
> [mm](-1)^\frac{n*(n-1)}{2}[/mm] res(f, f')
>
> Wieso ist dies nun gleich der disc(f)??
Nimm doch die Def !.
Seien [mm] a_1,....,a_n [/mm] die Nullstellen von f. Dann sind [mm] b_1:=a_1- \alpha,...., b_n:=a_n- \alpha [/mm] die Nullstellen von [mm] t_{\alpha}(f).
[/mm]
Für i<j ist
[mm] b_i-b_j=a_i-a_j.
[/mm]
Klingelts ?
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