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| Aufgabe | Eine diskrete Zufallsgröße X nehme genau drei Werte an, und zwar die Werte 4 bzw. 6 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,5 bzw. 0,3 sowie einen zu ermittelnden Wert x mit der Wahrscheinlichkeit p.
a) Wie groß ist p?
b) Bestimmen Sie x so, dass EX=8 gilt.
c) Bestimmen Sie x so, dass die Varianz von X minimal wird. Berechnen Sie die minimale Varianz. |
Meine Idee:
diskrete Zufallsgröße mit genau drei Werten: [mm] p_{1}=P(X=4)=0,5; p_{2}=P(X=6)=0,3; p_{3}=P(X=x_{3})
[/mm]
a) [mm] p_{3}?
[/mm]
[mm] \summe_{j \in J} p_{j}=1; [/mm] j=1,2,3
[mm] \summe_{j=1}^{3} p_{j}= p_{1}+p_{2}+p_{3}= 0,5+0,3+p_{3}= 0,8+p_{3}= [/mm] 1
[mm] p_{3}=0,2
[/mm]
b) [mm] x_{3}? \Rightarrow [/mm] EX=8
EX= [mm] \summe_{j \in J} x_{j}*p_{j}, [/mm] j=1,2,3
[mm] \summe_{j=1}^{3} x_{j}*p_{j}= x_{1}*p_{1}+x_{2}*p_{2}+x_{3}*p_{3}= 4*0,5+6*0,3+x_{3}*0,2= 2+1,8+x_{3}*0,2= 3,8+x_{3}*0,2= [/mm] 8
[mm] x_{3}*0,2=8-3,8 \Rightarrow x_{3}= \bruch{4,2}{0,2}
[/mm]
[mm] x_{3}= [/mm] 21
Ist das bis hier richtig?
Kann mir jemand weiterhelfen, wie ich bei c) die minimale Varianz berechne?
Ich danke euch im Voraus für eure Hilfe.
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Hallo,
> Eine diskrete Zufallsgröße X nehme genau drei Werte an,
> und zwar die Werte 4 bzw. 6 mit den Wahrscheinlichkeiten
> 0,5 bzw. 0,3 sowie einen zu ermittelnden Wert x mit der
> Wahrscheinlichkeit p.
>
> a) Wie groß ist p?
> b) Bestimmen Sie x so, dass EX=8 gilt.
> c) Bestimmen Sie x so, dass die Varianz von X minimal
> wird. Berechnen Sie die minimale Varianz.
> Meine Idee:
>
> diskrete Zufallsgröße mit genau drei Werten:
> [mm]p_{1}=P(X=4)=0,5; p_{2}=P(X=6)=0,3; p_{3}=P(X=x_{3})[/mm]
>
> a) [mm]p_{3}?[/mm]
>
> [mm]\summe_{j \in J} p_{j}=1;[/mm] j=1,2,3
>
> [mm]\summe_{j=1}^{3} p_{j}= p_{1}+p_{2}+p_{3}= 0,5+0,3+p_{3}= 0,8+p_{3}=[/mm]
> 1
>
> [mm]p_{3}=0,2[/mm]
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) [mm]x_{3}? \Rightarrow[/mm] EX=8
>
> EX= [mm]\summe_{j \in J} x_{j}*p_{j},[/mm] j=1,2,3
>
> [mm]\summe_{j=1}^{3} x_{j}*p_{j}= x_{1}*p_{1}+x_{2}*p_{2}+x_{3}*p_{3}= 4*0,5+6*0,3+x_{3}*0,2= 2+1,8+x_{3}*0,2= 3,8+x_{3}*0,2=[/mm]
> 8
>
> [mm]x_{3}*0,2=8-3,8 \Rightarrow x_{3}= \bruch{4,2}{0,2}[/mm]
>
> [mm]x_%7B3%7D%3D[/mm] 21
Auch richtig.
BTW: schreibt ihr wirklich EX für den Erwartungswert? E(X) ist jedenfalls gebräuchlicher.
> Ist das bis hier richtig?
>
> Kann mir jemand weiterhelfen, wie ich bei c) die minimale
> Varianz berechne?
Stelle einen Term für die Varianz in Abhängigkeit von x auf und minimiere diesen mittels der allgemein üblichen Methode für Funktionen einer Veränderlichen...
Gruß, Diophant
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