Diskrete Metrik < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Fr 25.04.2008 | | Autor: | skydyke |
| Aufgabe | Es sei X eine nicht leere Menge, versehen mit der diskreten Metrik d. Zeigen Sie
a)eine Folge in X konvergiert genau dann, wenn es eine Stelle N [mm] \in \IN, [/mm] aber der sie konstant ist (d.h. [mm] x_n [/mm] = [mm] x_N [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N)
b)Charakteresieren sie analog die Cauchyfolgen und zeigen sie, dass (X,d) vollständig ist. |
Hallo,
bei a muss ich doch versuchen [mm] \varepsilon [/mm] - Kugeln zu finden für die gilt dass [mm] x_n \subseteq B_\varepsilon(x)oder? [/mm] und dieser ausdruck muss dann irgendwann konstant sein, aber wie soll man das denn zeigen? da hab ich echt kein plan.
bei b weiß ich eigentlich nur das das soviel bedeutet wie das jede cauchyfolge konvergeiert. aber da weiß ich trotzdem überhaupt keinen ansatz.
bitte kann mir da einer weiterhelfen???
vielen dank
sabrina
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Fr 25.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo sabrina!
> Es sei X eine nicht leere Menge, versehen mit der diskreten
> Metrik d. Zeigen Sie
> a)eine Folge in X konvergiert genau dann, wenn es eine
> Stelle N [mm]\in \IN,[/mm] aber der sie konstant ist (d.h. [mm]x_n[/mm] = [mm]x_N[/mm]
> für alle n [mm]\ge[/mm] N)
>
> b)Charakteresieren sie analog die Cauchyfolgen und zeigen
> sie, dass (X,d) vollständig ist.
> Hallo,
>
> bei a muss ich doch versuchen [mm]\varepsilon[/mm] - Kugeln zu
> finden für die gilt dass [mm]x_n \subseteq B_\varepsilon(x)oder?[/mm]
> und dieser ausdruck muss dann irgendwann konstant sein,
> aber wie soll man das denn zeigen? da hab ich echt kein
> plan.
Überlege dir, wie die [mm] $\varepsilon$-Kugeln [/mm] überhaupt aussehen.
Tipp: Unterscheide die Fälle [mm] $\varepsilon\ge1$ [/mm] und [mm] $\varepsilon< [/mm] 1$.
> bei b weiß ich eigentlich nur das das soviel bedeutet wie
> das jede cauchyfolge konvergeiert. aber da weiß ich
> trotzdem überhaupt keinen ansatz.
Du musst dir zuerst überlegen, wie eine Cauchyfolge aussieht. Es muss ja für ein gegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] geben, sodass
[mm] d(x_n,x_m) <\varepsilon [/mm] für $n,m>N$ .
Betrachte wieder den Fall [mm] $\varepsilon< [/mm] 1$!
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Mo 28.04.2008 | | Autor: | skydyke |
Also die [mm] \varepsilon [/mm] - kugel sieht so aus:
[mm] \varepsilon [/mm] < 1, da ist die kugel offen, da 1 nicht erreicht wird und wir in der diskreten metrik sind
[mm] \varepsilon [/mm] > 1, hier ist die Kugel die gesamte Folge
wie mach ich denn jetzt weiter? wie zeig ich denn jetzt das [mm] x_n [/mm] < [mm] B_\varepsilon(x) [/mm] ist? welche [mm] \varepsilon-kugel [/mm] muss ich denn dazu betrachten, die > 1, da die gesamte folge?
zu b) hab ich mir überlegt:
[mm] x_n \subseteq [/mm] X ist Cauchyfolge, da [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein N [mm] \in \IN: d(x_n,x_m)< \varepsilon [/mm] für alle n,m > N und dies gilt, da
[mm] \varepsilon [/mm] <1 ist offene Kugel und erreicht nicht den Abstand 1 der in der diskreten Mege gegeben ist
=> [mm] d(x_n,x_m) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n,m > N
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mo 28.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also die [mm]\varepsilon[/mm] - kugel sieht so aus:
>
> [mm]\varepsilon[/mm] < 1, da ist die kugel offen, da 1 nicht
> erreicht wird und wir in der diskreten metrik sind
Ich bin mir nicht sicher, was du meinst. Welche Punkte liegen in dieser Kugel.
>
> [mm]\varepsilon[/mm] > 1, hier ist die Kugel die gesamte Folge
Nein, das stimmt nicht. Was ist die Menge aller Punkte für die [mm] $d(x,y)<\varepsilon$ [/mm] mit [mm] $\varepsilon \ge [/mm] 1$ ist?
(Diese Menge ist auch offen.)
> wie mach ich denn jetzt weiter? wie zeig ich denn jetzt das
> [mm]x_n[/mm] < [mm]B_\varepsilon(x)[/mm] ist? welche [mm]\varepsilon-kugel[/mm] muss
> ich denn dazu betrachten, die > 1, da die gesamte folge?
Welcher der beiden Fälle [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$ und [mm] $\varepsilon \ge [/mm] 1$ ist für die Konvergenz interessant?
> zu b) hab ich mir überlegt:
>
> [mm]x_n \subseteq[/mm] X ist Cauchyfolge, da [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> existiert ein N [mm]\in \IN: d(x_n,x_m)< \varepsilon[/mm] für alle
> n,m > N und dies gilt, da
> [mm]\varepsilon[/mm] <1 ist offene Kugel und erreicht nicht den
> Abstand 1 der in der diskreten Mege gegeben ist
> => [mm]d(x_n,x_m)[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n,m > N
Aber was bedeutet es für [mm] $x_n$ [/mm] und [mm] $x_m$, [/mm] wenn [mm]d(x_n,x_m) < \varepsilon <1[/mm] ist?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
