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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Sunny85 |
| Aufgabe | | Es sei P ein konvexes n-Eck, bei dem sich keine drei Diagonalen in einem Punkt schneiden. Wieviele Schnittpunkte von Diagonalen gibt es? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Was ist damit gemeint? Ich habe es ausprobiert und heruasgefunden, dass es nur bei einem Viereck und einem Fünfeck keine drei Diagonalen gibt, die sich in einem Punkt schneiden. Aber wie verallgemeiner ich das mit n-Ecken? Ich denke, dass unser Dozent einen Beweis dafür möchte, aber wie?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 06:09 Di 25.04.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo und guten Morgen,
sowas gibt es auch für beliebige n, wobei dann i.a. die Seitenlängen des n-Ecks nicht alle gleich lang sind.
Die Frage ist nun schlicht die, wieviele Diagonalen ein solches konvexes n-Eck hat. Sei d(n) die Zahl der Diagonalen, dann
gibt es also [mm] \frac{d(n)\cdot (d(n)-1)}{2} [/mm] Schnittpunkte von Diagonalen.
d(n) ist auch nicht schwer zu bestimmen:
Je zwei nicht-benachbarte Ecken auf dem Rand erzeugen eine Diagonale. Es gibt n Ecken, also
[mm] \frac{n(n-1)}{2} [/mm] ungeordnete Paare von Ecken, und genau n davon sind benachbart, also ist
[mm] d(n)=\frac{n\cdot (n-1)}{2}-n
[/mm]
Viele Grüße,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Di 25.04.2006 | | Autor: | DirkG |
Hallo Mathias,
deine Ausführungen haben einen kleinen Haken: Du berechnest nicht die Anzahl der Schnittpunkte aller Diagonalen, sondern die Anzahl der Schnittpunkte aller Diagonalen-Geraden. Das sind aber zuviel, denn viele Diagonalen-Geraden schneiden sich erst außerhalb des Vielecks, und sind damit keine Schnittpunkte der Diagonalen(-Strecken).
Gruß,
Dirk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Do 27.04.2006 | | Autor: | DirkG |
[mm] $P_1P_2\ldots P_n$ [/mm] sei das vorgegebene konvexe n-Eck.
Jedem Diagonalenschnittpunkt kann man genau zwei Diagonalen [mm] $P_aP_c$ [/mm] und [mm] $P_bP_d$ [/mm] zuordnen, deren Schnittpunkt er ist.
Umgekehrt kann man aber auch jeder Auswahl von vier verschiedenen Punkten [mm] $P_a,P_b,P_c,P_d$ [/mm] mit [mm] $1\leq agenau einen Diagonalenschnittpunkt zuordnen, nämlich [mm] $P_aP_c\cap P_bP_d$.
[/mm]
Aufgrund dieser bijektiven Zuordnung entspricht die Schnittpunktanzahl der Diagonalen genau der Anzahl der Tupel $(a,b,c,d)$ mit [mm] $1\leq a
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