Disjunktive Vereinigung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie dass sich A [mm] \cup [/mm] B als disjunktive Vereinigung der Mengen A [mm] \setminus [/mm] B, B [mm] \setminus [/mm] A und A [mm] \cap [/mm] B schreiben lässt:
A [mm] \cup [/mm] B = A [mm] \setminus [/mm] B + B [mm] \setminus [/mm] A + A [mm] \cap [/mm] B |
Kann mir bitte jemand helfen, wie muss ich hier vorgehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Di 01.05.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich kann mich mit deiner Notation nicht anfreunden. Ist
$A [mm] \cup [/mm] B = (A [mm] \setminus B)\cup [/mm] (B [mm] \setminus A)\cup(A \cap [/mm] B )$ gemeint?
Zeige [mm] $x\in\text{Links}\Rightarrow x\in\text{Rechts}$ [/mm] und [mm] $x\in\text{Rechts}\Rightarrow x\in\text{Links}$.
[/mm]
vg Luis
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In der Aufgabenstellung heißt es: A [mm] \cup [/mm] B = (A [mm] \setminus [/mm] B) + (B [mm] \setminus [/mm] A) + (A [mm] \cap [/mm] B), aber ich denke es ist A [mm] \cup [/mm] B = (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) gemeint.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo King-LA-Gold,
ich kenne + (aus der Stochastik) als Schreibweise für [mm] $\cup$, [/mm] wenn die vereinigten Mengen paarweise disjunkt sind.
Neben dem von Luis genannten ist also noch zu zeigen, dass jeweils zwei der drei Mengen [mm] $A\setminus [/mm] B$, [mm] $B\setminus [/mm] A$ und [mm] $A\cap [/mm] B$ disjunkt sind.
Führe also z.B., um [mm] $(A\setminus B)\cap(B\setminus A)=\emptyset$ [/mm] zu zeigen, die Annahme, es gäbe ein [mm] $x\in(A\setminus B)\cap(B\setminus [/mm] A)$, zu einem Widerspruch.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Di 01.05.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> ich kenne + (aus der Stochastik) als Schreibweise für
> [mm]\cup[/mm], wenn die vereinigten Mengen paarweise disjunkt sind.
>
Moin Tobias,
habe schon Einiges in der Stochastik gesehen,
aber diese Symbolik war mir fremd. Das entsprechende
Symbol kenne ich als [mm] $A\stackrel{\cdot}{\cup}B$.
[/mm]
Danke fur die Horizonterweiterung, man lernt nicht aus.
vg Luis
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Ich hab bis jetzt folgendes:
Sei x [mm] \in [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B), dann ist aber x [mm] \not\in [/mm] B und somit gilt:
x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) = [mm] \emptyset
[/mm]
und wegen Symmetrie: (B [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) = [mm] \emptyset
[/mm]
Sei x [mm] \in [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B), dann ist aber x [mm] \not\in [/mm] B und somit gilt auch:
x [mm] \not\in [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] A) = [mm] \emptyset
[/mm]
wie gehts weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Mi 02.05.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
du bist anscheinend vollkommen auf dem Holzweg. Du musst zweierlei zeigen:
1) Gilt [mm] $\x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ so folgt [mm] $x\in(A \setminus B)\cup [/mm] (B [mm] \setminus A)\cup(A \cap [/mm] B )$.
2) Gilt [mm] $x\in(A \setminus B)\cup [/mm] (B [mm] \setminus A)\cup(A \cap [/mm] B )$ so folgt [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$.
Ich mache mal einen Anfang bei 2: Sei [mm] $x\in(A \setminus B)\cup [/mm] (B [mm] \setminus A)\cup(A \cap [/mm] B )$. Ist [mm] $x\in(A \setminus [/mm] B)$, so ist [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$. Ist [mm] $x\in(B \setminus [/mm] A)$, so ist [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$. Ist [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$, so ist [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$. In jedem Fall folgt [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$.
vg Luis
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