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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:01 Mi 05.12.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, folgende Aufgabe (viel Text, aber ist nur Beschreibung):
Es ist die Lösung u des folgenden Dirchletproblems gesucht:
[mm] $\Delta [/mm] u=0, [mm] x\in\left\{y\in\mathbb{R}^2|y_2>0\right\})$
[/mm]
[mm] $u(x_1,0)=g(x_1), x_1\in\mathbb{R}$,
[/mm]
wobei u beschränkt sei und
[mm] $\lim\limits_{\lvert x_1\rvert\to\infty}u(x_1,x_2)=\lim\limits_{\lvert x_1\rvert\to\infty}\frac{\partial}{\partial x_1}u(x_1,x_2)=0$
[/mm]
für jedes [mm] x_2>0 [/mm] gelte.
(i) Nimm' an, daß [mm] $u(\cdot,x_2),g [/mm] $ aus [mm] $\mathcal{S}$. [/mm] Wende nun die Fouriertransformation in [mm] $x_1$-Richtung [/mm] auf die Differentialgleichung an, um eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung zu erhalten. Bezeichne mit t die Variable des Fourierraums, d.h. [mm] (\mathcal{F} u)(t,x_2)$.
[/mm]
(ii) Löse die DGL durch einen Exponentialansatz mit t-abhängigen Koeffizienten. Bestimmte die Koeffizienten durch Verwendung der Randbedingung und der Beschränktheitsbedingung.
(iii) Berechne die Fouriertransformierte von [mm] $\exp(-rx), [/mm] r>0$.
(iv) Beachte, daß [mm] $(\mathcal{F} u)(t,x_2)$ [/mm] ein Produkt war und wende die Faltungsformel an, um diesen Produkt zurückzutransformieren, verwende dabeo (iii). Man erhält also die Lösung des Dirichletproblems als Bild einer Faltung von g mit einem speziellen Faltungskern.
Stimmt das - und wie gehts nun weiter? |
Zu (i):
Ich habe jeweils auf beiden Gleichungsseiten die Fouriertransformation in Richtung [mm] $x_1$ [/mm] angewandt und habe erhalten:
[mm] $\mathcal{F}(u_{x_2 x_2})(\omega)=\omega_1^2\mathcal{F}(u(\cdot,x_2))(\omega)$
[/mm]
[mm] $\mathcal{F}(u(x_1,0))=\mathcal{F}(g(x_1))$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi mikexx,
> Hallo, folgende Aufgabe (viel Text, aber ist nur
> Beschreibung):
>
> Es ist die Lösung u des folgenden Dirchletproblems
> gesucht:
>
> [mm]\Delta u=0, x\in\left\{y\in\mathbb{R}^2|y_2>0\right\})[/mm]
>
> [mm]u(x_1,0)=g(x_1), x_1\in\mathbb{R}[/mm],
>
> wobei u beschränkt sei und
>
> [mm]\lim\limits_{\lvert x_1\rvert\to\infty}u(x_1,x_2)=\lim\limits_{\lvert x_1\rvert\to\infty}\frac{\partial}{\partial x_1}u(x_1,x_2)=0[/mm]
>
> für jedes [mm]x_2>0[/mm] gelte.
>
> (i) Nimm' an, daß [mm]$u(\cdot,x_2),g[/mm] $ aus [mm]$\mathcal{S}$.[/mm]
> Wende nun die Fouriertransformation in [mm]$x_1$-Richtung[/mm] auf
> die Differentialgleichung an, um eine gewöhnliche
> Differentialgleichung zweiter Ordnung zu erhalten.
> Bezeichne mit t die Variable des Fourierraums, d.h.
> [mm](\mathcal{F} u)(t,x_2)$.[/mm]
>
> (ii) Löse die DGL durch einen Exponentialansatz mit
> t-abhängigen Koeffizienten. Bestimmte die Koeffizienten
> durch Verwendung der Randbedingung und der
> Beschränktheitsbedingung.
>
> (iii) Berechne die Fouriertransformierte von [mm]\exp(-rx), r>0[/mm].
>
> (iv) Beachte, daß [mm](\mathcal{F} u)(t,x_2)[/mm] ein Produkt war
> und wende die Faltungsformel an, um diesen Produkt
> zurückzutransformieren, verwende dabeo (iii). Man erhält
> also die Lösung des Dirichletproblems als Bild einer
> Faltung von g mit einem speziellen Faltungskern.
>
> Stimmt das - und wie gehts nun weiter?
>
> Zu (i):
>
> Ich habe jeweils auf beiden Gleichungsseiten die
> Fouriertransformation in Richtung [mm]x_1[/mm] angewandt und habe
> erhalten:
>
> [mm]\mathcal{F}(u_{x_2 x_2})(\omega)=\omega_1^2\mathcal{F}(u(\cdot,x_2))(\omega)[/mm]
Ich schreibs mal, wie in der Aufgabenstellung vorgeschlagen:
[mm] \mathcal{F}(u_{x_2 x_2})(t,x_2)=t^2\mathcal{F}(u)(t,x_2)
[/mm]
Mein Versuch wäre jetzt (aber ohne Gewähr!):
Einfach die partielle Ableitung nach [mm] x_2 [/mm] vor das Integral der Fouriertransformation ziehen (bzgl [mm] x_2 [/mm] hat man ja nicht transformiert), das sähe dann so aus:
[mm] \partial_{x_2 x_2}\mathcal{F}(u)(t,x_2)=t^2\mathcal{F}(u)(t,x_2) [/mm]
und die DGl dann bzgl [mm] \mathcal{F}(u) [/mm] lösen.
> [mm]\mathcal{F}(u(x_1,0))=\mathcal{F}(g(x_1))[/mm]
Müsste das nicht so lauten [mm] \mathcal{F}(u)(t,0)=\mathcal{F}(g)(t)?
[/mm]
Kuck mal, ob du so weiter kommst.
Lg walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 07.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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