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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Mo 11.02.2013 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Beweise: Eine zyklische Gruppe von Primzahlpotenzordnung kann nicht als direktes Produkt echter Untergruppen geschrieben werden. |
Hallo,
also ich hab mir das mal anhand eines Beispiels klar gemacht.
zyklische Gruppe der Ordnung 7.
[mm] Z_7 [/mm] = [mm] Z_7 [/mm] x [mm] Z_1 [/mm] , das sind allerdings keine echten Untergruppen, sondern nur die trivialen.
Allerdings ist doch jede Gruppe der Ordnung [mm] p^2 [/mm] zyklisch (mit p prim), oder? Aber dann wäre ja z.B. Z_49 = [mm] Z_7 [/mm] x [mm] Z_7 [/mm] und das ist doch ein direktes Produkt echter Untergruppen, oder?
Klar ist ja, dass die Untergruppenordnung die Gruppenordnung teilen muss.
Danke schonmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Mo 11.02.2013 | | Autor: | Trikolon |
Da fällt mir ein: Z_49 ist doch gar nicht zyklisch, sondern nur ablesch, oder? bei einer zyklischen Gruppe darf doch jede Primzahl nur einmal vorkommen wegen dem chinesischen Restsatz, oder?
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moin,
hier geht einiges durcheinander. Bevor wir die Frage klären können, müssen wir also erstmal die Begriffe klären:
Was ist eine zyklische Gruppe? Was genau sagt der Chinesische Restsatz?
Insbesondere:
[mm] $\IZ_{49}$ [/mm] ist zyklisch und [mm] $\IZ_{49} \neq \IZ_7 \times \IZ_7$, [/mm] die beiden Gruppen sind nicht einmal isomorph.
Und nicht jede Gruppe der Ordnung [mm] $p^2$ [/mm] ist zyklisch, als Gegenbeispiel etwa [mm] $\IZ_7 \times \IZ_7$, [/mm] die nicht zyklisch ist.
Du hast wahrscheinlich den Satz im Kopf, dass jede Gruppe der Ordnung [mm] $p^2$ [/mm] Abelsch ist, das stimmt; aber zyklisch sind die im Allgemeinen nicht.
Also sortiere nochmal deine Begriffe, guck nochmal genau nach, wie ihr die einzelnen Begriffe definiert habt, wenn dir das klar ist, können wir uns an die Aufgabe machen.
Sollte es Definitionen oder Begriffe geben, die du nicht verstehst, kannst du natürlich gerne fragen, aber so lange das so ein Chaos ist, musst du erst einmal ein wenig Bücher/Skripte wälzen.
Wenn du dann soweit bist, kannst du dir zu deiner Aufgabe folgendes überlegen: Ist $G$ zyklisch und $|G| = [mm] p^k$ [/mm] für ein $p [mm] \in \IP$, [/mm] $k [mm] \in \IN$, [/mm] so gibt es ein $x [mm] \in [/mm] G$ mit $ord(x) = [mm] p^k$. [/mm] Solche $x$ wollen wir jetzt mal zyklische Erzeuger von $G$ nennen.
Angenommen $G [mm] \cong [/mm] U [mm] \times [/mm] H$ für zwei nicht triviale Untergruppen $U,H$. Dann darf weder $U$ noch $H$ einen zyklischen Erzeuger von $G$ enthalten (wieso?). Nun überlege dir, wie viele solche zyklischen Erzeuger $G$ enthält - da $G$ eine Primzahlpotenz als Ordnung hat, lässt sich die Anzahl sehr schön angeben. Dann weißt du, wie viele Elemente in $U,H$ höchstens enthalten sein können und erhältst daraus einen Widerspruch.
Alternativ kannst du es auch so machen:
Seien $U,H$ zwei Gruppen mit $|U| = [mm] p^k$, $|H|=p^n$ [/mm] für die gleiche Primzahl $p$ und $k,n [mm] \in \IN$. [/mm] Zeige, dass dann $U [mm] \times [/mm] H$ nicht zyklisch ist, indem du eine obere Schranke für die Ordnung eines jeden Elements in $U [mm] \times [/mm] H$ angibst, die echt kleiner als [mm] $p^{k+n}$ [/mm] ist.
Damit ist dann $U [mm] \times [/mm] H$ auch nicht isomorph zu einer zyklischen Gruppe und auch auf diese Art erhältst du deinen Widerspruch.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Trikolon |
Danke für die ausführliche Antwort! Denke, dass meiste hab ich jetzt verstanden. Eine Frage hätte ich aber noch: [mm] Z_n [/mm] (wie in meinem 1. Bsp Z_49) ist doch immer zyklisch erzeugt von [1], oder?
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