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| Aufgabe | „A und B seien Mengen. Beweisen Sie die folgende Aussage:”
P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B) |
In der Uni sollen wir zur Mengenlehre ein paar Beweise als Hausaufgabe machen. Einige konnte ich auch schon selbstständig beweisen. Meine Kommilitonen haben ähnliche Wege gefunden. Bei folgender Aufgabe hapert es aber:
„A und B seien Mengen. Beweisen Sie die folgende Aussage:”
P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B)
Es reichen mir Lösungsansätze und Tipps sowie Korrekturen.
Mein Ansatz:
Den ersten Teil P(A) ∪ P(B) nenne ich im folgenden die Menge "M".
Den zweiten Teil P(A ∪ B) nenne ich im folgenden die Menge "N".
Teilbeweise:
1. [mm] \forall [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] M : x [mm] \varepsilon [/mm] N
2. [mm] \exists [/mm] y [mm] \varepsilon [/mm] N : y [mm] \neg \varepsilon [/mm] M
Zu 1)
Sei x ein beliebiges Element aus M.
--> Laut Vereinigungsmengendefinition gilt:
x [mm] \varepsilon [/mm] P(A) v
x [mm] \varepsilon [/mm] P(B)
--> Laut Potenzmengendefinition gilt:
x [mm] \varepsilon [/mm] A v
x [mm] \varepsilon [/mm] B
Da A ∪ B [mm] \subseteq [/mm] P(A ∪ B) laut Potenzmengendefinition
gilt: x [mm] \varepsilon [/mm] P(A ∪ B).
Daraus folgt 1).
Bei 2) weiss ich nicht wie ich weiter machen soll, da ich nicht mit "Sei x ein beliebiges..." anfangen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:44 Di 20.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo XxGoliathusxX und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> „A und B seien Mengen. Beweisen Sie die folgende
> Aussage:”
> P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B)
> In der Uni sollen wir zur Mengenlehre ein paar Beweise als
> Hausaufgabe machen. Einige konnte ich auch schon
> selbstständig beweisen. Meine Kommilitonen haben ähnliche
> Wege gefunden. Bei folgender Aufgabe hapert es aber:
> „A und B seien Mengen. Beweisen Sie die folgende
> Aussage:”
> P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B)
> Es reichen mir Lösungsansätze und Tipps sowie
> Korrekturen.
> Mein Ansatz:
> Den ersten Teil P(A) ∪ P(B) nenne ich im folgenden die
> Menge "M".
> Den zweiten Teil P(A ∪ B) nenne ich im folgenden die
> Menge "N".
Definiere [mm] $M:=P(A)\cup [/mm] P(B)$ und [mm] $N:=P(A\cup B)\$.
[/mm]
(Wieso darfst du das?)
Zu zeigen: [mm] $M\subset N\$.
[/mm]
> Teilbeweise:
> 1. [mm]\forall[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] M : x [mm]\varepsilon[/mm] N
> 2. [mm]\exists[/mm] y [mm]\varepsilon[/mm] N : y [mm]\neg \varepsilon[/mm] M
Zu zeigen ist nur, dass [mm] $M\subset N\$ [/mm] gilt.
Also zeigt man, dass für ein beliebiges [mm] $x\in [/mm] M$ stets [mm] $x\in [/mm] N$ folgt.
Da [mm] $x\in M\$ [/mm] beliebig gewählt war folgt die Aussage.
Deine zweite Behauptung ist richtig, aber nicht relevant für diese Aufgabe.
Im Grunde willst du ein Gegenbeispiel dafür liefern, dass [mm] $M\supset [/mm] N$ NICHT gilt.
Für das Verständnis ist das aber eine gute Aufgabe!
> Zu 1)
> Sei x ein beliebiges Element aus M.
> --> Laut Vereinigungsmengendefinition gilt:
> x [mm]\varepsilon[/mm] P(A) v
> x [mm]\varepsilon[/mm] P(B)
Ja.
> --> Laut Potenzmengendefinition gilt:
> x [mm]\varepsilon[/mm] A v
> x [mm]\varepsilon[/mm] B
Nein.
Es folgt [mm] $x\subset A\vee x\subset [/mm] B$.
> Da A ∪ B [mm]\subseteq[/mm] P(A ∪ B) laut
> Potenzmengendefinition
> gilt: x [mm]\varepsilon[/mm] P(A ∪ B).
Nein.
Nochmal: [mm] $x\in M\Longrightarrow x\in P(A)\cup P(B)\Longrightarrow x\in P(A)\vee x\in P(B)\Longrightarrow x\subset A\vee x\subset B\Longrightarrow\ldots\Longrightarrow x\in P(A\cup B)\Longrightarrow x\in [/mm] N$.
Ergänze die letzte "Lücke"!
> Bei 2) weiss ich nicht wie ich weiter machen soll, da ich
> nicht mit "Sei x ein beliebiges..." anfangen kann.
Wähle [mm] A:=\{1,2\} [/mm] und [mm] B:=\{1,3\} [/mm] und zeige, dass ein [mm] $x\in [/mm] N$ existiert mit [mm] $x\not\in [/mm] M$.
Ansonsten: Welches [mm] \Longrightarrow [/mm] darf man (oben) NICHT durch [mm] \Longleftarrow [/mm] ersetzen?
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:18 Di 20.10.2015 | | Autor: | fred97 |
Zur Ergänzung: wenn Du zeigen willst, dass i.a. gilt:
$P(A) [mm] \cup [/mm] P(B)$ ist eine echte Teilmenge von $ P(A [mm] \cup [/mm] B) $, so überlege Dir, dass man im Falle $A [mm] \cap [/mm] B= [mm] \emptyset$ [/mm] i.a.
$A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in [/mm] P(A) [mm] \cup [/mm] P(B)$
nicht hat.
FRED
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