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| Aufgabe | Sei W ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und U [mm] \subset [/mm] W und V [mm] \subset [/mm] W Untervektorräume. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
1.) U [mm] \oplus [/mm] V = W
2.) V schneidet jede Äquivalenzklasse x [mm] \in [/mm] W/U in genau einem Element |
Guten Abend,
ich beschäftige mich zur Zeit mit der obigen Aufgabe und bräuchte ein paar Rückmeldungen zu meinem Lösungsansätzen und vielleicht auch neue Ansätze.
Zunächst habe ich versucht, mir das ganze etwas bildlicher vorzustellen:
Angenommen wir hätten hier mit W = [mm] \IR^{2}, [/mm] mit U = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und V = [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
Dann ist die direkte Summe von U und V gleich W, es gilt also U [mm] \oplus [/mm] V = W
Nun bilde ich den Quotientenraum W/U und unterteile den gesamten Vektorraum W = [mm] \IR^{2} [/mm] in lauter parallele, senkrechte Geraden, deren Elemente ich in der Form
[w] = w + u
schreiben kann. Nehme ich nun den Vektorraum V dazu, so habe ich eine zur x-Achse parallele Gerade, die jede dieser Äquivalenzklassen hier auch auf der x-Achse einmal schneidet, wie es in der Aufgabe verlangt ist zu zeigen.
_____________________________________________________________
Nun betrachtet man jedoch nicht nur den [mm] \IR^{2}, [/mm] sondern einen beliebigen K-Vektorraum W. Meine Ansätze soweit:
1.) Es gilt:
U [mm] \oplus [/mm] V = W
Demnach ist der Untervektorraum V das Komplement zum Untervektorraum U und anders herum.
Nach dem Dimensionssatz für Quotienräume gilt:
dim W/U = dim W - dim U
dim W/U = dim U + dim V - dim U
dim W/U = dim V
Die Dimension des Quotientenraumes und des Unterraums V sind also gleich.
Sei [mm] (v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{n}) [/mm] nun eine Basis von V, dann ist [mm] ([v_{1}], [/mm] ..., [mm] [v_{n}]) [/mm] eine Basis von W/U.
Da es eine Basis ist, ist die Darstellung von Elementen im Spann eindeutig, man bekommt also nur exakt einen Schnittpunkt.
Doch gerade den essentiellen Schritt, den ich hier rot gekennzeichnet habe, empfinde ich eigentlich als richtig,wie ich mir das im [mm] \IR^{2} [/mm] noch einmal klargemacht habe, jedoch weiß ich nicht so ganz, wie ich das zeigen, geschweige denn beweisen soll.
Vielleicht wisst Ihr ja Rat.
2.) Ein weiterer Ansatz, den ich auf der Internetseite der TU Dortmund gefunden habe![[]](/images/popup.gif) TU Dortmund - Quotientenvektorräume und Direkte Summe (siehe Seite 5) besagt, dass in dem oben beschriebenen Fall gilt:
(w + U) [mm] \cap [/mm] V = {w}
Der Schnitt des Quotientenraumes mit dem Untervektorraum V ist also gerade die Menge aller Repräsentanten der Äquivalenzklasse. Nur wir genau ich das zeigen kann, weiß ich nicht.
Auf der Seite wird diese Folgerung auf das Vorhandensein einer kanonischen Abbildung
W [mm] \to [/mm] W/U, w [mm] \mapsto [/mm] w+u
die einen Isomorphismus zwischen den Vektorräumen herstellt.
3.) Mein dritter und letzter Ansatz ist folgender. In unserer Vorlesung hatten wir definiert:
Sei W ein K-Vektorraum, U [mm] \subset [/mm] W Untervektorraum.
Sei V [mm] \subset [/mm] W Untervektorraum, s.d. W = U [mm] \oplus [/mm] V
Dann ist
p: W/U [mm] \to [/mm] V, [w] [mm] \mapsto p_{v}(w) [/mm] ( wobei [mm] p_{v} [/mm] : W [mm] \to [/mm] V)
wohldefiniert und Isomorphismus von K_Vektorräumen.
Es existiert also eine Abbildung, die jedes Element einer Äquivalentklasse von W/U auf den Schnittpunkt von seiner Äquivalenzklasse und dem Untervektorraum V abbildet. Da diese Abbildung eindeutig und ein Isomorphismus ist, besitzt jede Äuivalenzklasse nur einen Schnittpunkt mit V, was zu zeigen war.
Also, es wäre super, wenn Ihr mit etwas Feedback zu meinen Ansätzen geben könntet und mir vielleicht sagt, welcher schon in die richtige Richtung geht und welcher nicht.
Vielen Dank im Voraus
Euer Bongolongo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei W ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und U [mm]\subset[/mm] W
> und V [mm]\subset[/mm] W Untervektorräume. Zeigen Sie, dass
> folgende Aussagen äquivalent sind:
>
> 1.) U [mm]\oplus[/mm] V = W
> 2.) V schneidet jede Äquivalenzklasse x [mm]\in[/mm] W/U in genau
> einem Element
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Zunächst habe ich versucht, mir das ganze etwas bildlicher
> vorzustellen:
>
> Angenommen wir hätten hier mit W = [mm]\IR^{2},[/mm] mit U =
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und V = [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
Du meinst sicher [mm] U=<\vektor{1 \\ 0}>, [/mm] also den von [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] aufgespannten Raum,
und [mm] V=<\vektor{0\\1}.
[/mm]
(U ist die x-Achse, V die y-Achse.)
> Dann ist die
> direkte Summe von U und V gleich W, es gilt also U [mm]\oplus[/mm] V
> = W
Ja.
>
> Nun bilde ich den Quotientenraum W/U und unterteile den
> gesamten Vektorraum W = [mm]\IR^{2}[/mm] in lauter parallele,
> senkrechte
???
> Geraden, deren Elemente ich in der Form
>
> [w] = w + u
Nein, sondern [w]=w+U
>
> schreiben kann.
W/U enthält alle Geraden, die parallel zur x-Achse sind.
> Nehme ich nun den Vektorraum V dazu, so
> habe ich eine zur x-Achse parallele Gerade,
Nein, V ist eine Gerade, die parallel zur y-Achse ist.
> die jede dieser
> Äquivalenzklassen hier auch auf der x-Achse einmal
> schneidet,
Jede Äquivalenzklasse schneidet die y-Achse, also V, genau einmal.
(Ich glaub, Du hast die Achsen temporär verwechselt, es aber richtig verstanden).
> wie es in der Aufgabe verlangt ist zu zeigen.
>
> _____________________________________________________________
>
> Nun betrachtet man jedoch nicht nur den [mm]\IR^{2},[/mm] sondern
> einen beliebigen K-Vektorraum W. Meine Ansätze soweit:
>
> 1.) Es gilt:
>
> U [mm]\oplus[/mm] V = W
>
> Demnach ist der Untervektorraum V das Komplement zum
> Untervektorraum U und anders herum.
>
> Nach dem Dimensionssatz für Quotienräume gilt:
>
> dim W/U = dim W - dim U
>
> dim W/U = dim U + dim V - dim U
>
> dim W/U = dim V
>
> Die Dimension des Quotientenraumes und des Unterraums V
> sind also gleich.
>
> Sei [mm](v_{1},[/mm] ..., [mm]v_{n})[/mm] nun eine Basis von V, dann ist
> [mm]([v_{1}],[/mm] ..., [mm][v_{n}])[/mm] eine Basis von W/U.
Da Dir die Dimension von W/U bekannt ist, müßtest Du, wenn Du diese Aussage beweisen möchtest, zeigen, daß [mm]([v_{1}],[/mm] ..., [mm][v_{n}])[/mm] linear unabhängig ist.
Dazu mußt Du wissen, daß die Null in W/U der Raum U ist.
Rechne vor, daß aus [mm] \lambda_1[v_1]+...+\lambda_n[v_n]=U [/mm] folgt, daß [mm] \lambda_1=...=\lambda_n.
[/mm]
>
> Da es eine Basis ist, ist die Darstellung von Elementen im
> Spann eindeutig, man bekommt also nur exakt einen
> Schnittpunkt.
Diese Argumentation mußt Du genauer ausführen (vorrechnen), so wie's dasteht, überzeugt es mich noch nicht.
> Doch gerade den essentiellen Schritt, den ich hier rot
> gekennzeichnet habe, empfinde ich eigentlich als
> richtig,wie ich mir das im [mm]\IR^{2}[/mm] noch einmal klargemacht
> habe, jedoch weiß ich nicht so ganz, wie ich das zeigen,
> geschweige denn beweisen soll.
> Vielleicht wisst Ihr ja Rat.
Soweit zunächst mal. Ich muß bald fort und lasse daher vom Rest erstmal die Finger.
Evtl. schau ich am Abend oder morgen früh nochmal rein.
Mir gefällt gut, daß Du Dir den Sachverhalt zunächst an einem konkreten Beispiel klargemacht hast und anschließend sogar mehrere Ideen vorstellst!
LG Angela
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> Sei W ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und U [mm]\subset[/mm] W
> und V [mm]\subset[/mm] W Untervektorräume. Zeigen Sie, dass
> folgende Aussagen äquivalent sind:
>
> 1.) U [mm]\oplus[/mm] V = W
> 2.) V schneidet jede Äquivalenzklasse x [mm]\in[/mm] W/U in genau
>
> 2.) Ein weiterer Ansatz, den ich auf der Internetseite der
> TU Dortmund gefunden
> habeTU Dortmund - Quotientenvektorräume und Direkte Summe
> (siehe Seite 5) besagt, dass in dem oben beschriebenen
> Fall gilt:
>
> (w + U) [mm]\cap[/mm] V = {w}
Hallo,
ich glaube nicht, daß das so da steht.
Übertragen auf Dein konkretes Beispiel, welches Du zu Beginn brachtest, würde das ja bedeuten, daß die Gerade
[mm] \vektor{1\\2}+\lambda\vektor{1\\0} [/mm] und die Gerade [mm] \mu\vektor{0\\1} [/mm] den Schnittpunkt [mm] \vektor{1\\2}haben, [/mm] was sicher nicht der Fall ist.
>
> Der Schnitt des Quotientenraumes mit dem Untervektorraum V
> ist also gerade die Menge aller Repräsentanten der
> Äquivalenzklasse. Nur wir genau ich das zeigen kann, weiß
> ich nicht.
> Auf der Seite wird diese Folgerung auf das Vorhandensein
> einer kanonischen Abbildung
>
> W [mm]\to[/mm] W/U, w [mm]\mapsto[/mm] w+u
>
> die einen Isomorphismus zwischen den Vektorräumen
> herstellt.
Es wird wohl dort eher gesagt, daß die Abbildung
[mm] V\to [/mm] W/U mit
[mm] v\mapsto [/mm] v+U
ein Isomorphismus zwischen V und W/U ist.
Ich glaube, Du mußt Dich hier erstmal noch etwas sortieren, bevor es sinnvoll weitergehen kann.
LG Angela
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> Sei W ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und U [mm]\subset[/mm] W
> und V [mm]\subset[/mm] W Untervektorräume. Zeigen Sie, dass
> folgende Aussagen äquivalent sind:
>
> 1.) U [mm]\oplus[/mm] V = W
> 2.) V schneidet jede Äquivalenzklasse x [mm]\in[/mm] W/U in genau
> 3.) Mein dritter und letzter Ansatz ist folgender. In
> unserer Vorlesung hatten wir definiert:
Hallo,
Ihr hattet das gezeigt!
>
> Sei W ein K-Vektorraum, U [mm]\subset[/mm] W Untervektorraum.
> Sei V [mm]\subset[/mm] W Untervektorraum, s.d. W = U [mm]\oplus[/mm] V
> Dann ist
>
> p: W/U [mm]\to[/mm] V, [w] [mm]\mapsto p_{v}(w)[/mm] ( wobei [mm]p_{v}[/mm] : W [mm]\to[/mm]
> V)
>
> wohldefiniert und Isomorphismus von K_Vektorräumen.
>
> Es existiert also eine Abbildung, die jedes Element einer
> Äquivalentklasse von W/U auf den Schnittpunkt von seiner
> Äquivalenzklasse und dem Untervektorraum V abbildet.
Ja, [mm] p_v(w) [/mm] liegt im Schnitt von [w] und V, was Du allerdings noch zeigen/begründen müßtest.
Jetzt nimm an, daß auch v' in V und [w] liegt.
Deine Idee 3.) dürfte der von 2.) entsprechen.
LG Angela
> Da
> diese Abbildung eindeutig und ein Isomorphismus ist,
> besitzt jede Äuivalenzklasse nur einen Schnittpunkt mit V,
> was zu zeigen war.
>
>
> Also, es wäre super, wenn Ihr mit etwas Feedback zu meinen
> Ansätzen geben könntet und mir vielleicht sagt, welcher
> schon in die richtige Richtung geht und welcher nicht.
>
> Vielen Dank im Voraus
>
> Euer Bongolongo
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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