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Hallo,
ich habe Verständnisprobleme mit dem Begriff der "direkten Summe". In meinem Buch steht:
"Sind U und W Untervektorräume eines Vektorraumes V über einem Körper K, so definiert man die Summe von U und W:
U + W := [mm] \{u+w | u \in U und w \in W\} [/mm] und nennt U + W die Simme von U und W. U + W ist wieder ein Untervektorraum von V."
Soweit alles klar.
Nun das, was ich nicht verstehe: "Gilt außerdem U [mm] \cap [/mm] W = [mm] \{0\}, [/mm] so spricht man von der direkten Summe von U und W".
Also falls U und W keine gemeinsamten Elemente haben (also genau dann, falls U [mm] \cap [/mm] W = [mm] \{0\} [/mm] ist) handelt es sich bei U + W um eine direkte Summe. Richtig?
Wie zeige ich (Schritt für Schritt), dass U + W eine direkte Summe ist?
Als konkretes Beispiel:
U = [mm] LineareHuelle(\vektor{1 \\ 3 \\ 1 \\ -1}, \vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ 1})
[/mm]
W = [mm] LineareHuelle(\vektor{4 \\ 8 \\ 1 \\ -1}, \vektor{2 \\ -3 \\ -1 \\ -5})
[/mm]
Ich könnte nun einfach die Dimension von U und von W bestimmen. Im Schnitt von U und W sind ja diejenigen Vektoren, die in W sind und sich auch als Linearkombination der Vektoren, die U aufspannen schreiben lassen (und umgekehrt). Ich könnte also die Vektoren, die U und W aufspannen (also deren Basen) auf lin. Unabhängigkeit testen bzw. einfach nur den Rang der entsprechenden Matrix bestimmen und dann mit den Dimensionssätzen argumentieren. Stimmt das im Groben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Di 22.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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