Direkte Summe Beweis Korrektur < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Mi 30.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Seien [mm] $V_{1}=\IR(1,0)$ [/mm] und [mm] $V_{2}=\IR(\epsilon, \nu)$ [/mm] in [mm] $\IR^{2}$ [/mm] mit [mm] $\nu \ne [/mm] 0$. Zeige, dass [mm] $\IR^{2}=V_{1}\oplus V_{2}$ [/mm] |
Hallo,
Ein Vektor [mm] $v\in \IR^{2}$ [/mm] kann als Summe von [mm] $v=v_{1}+v_{2}$ [/mm] mit [mm] $v_{1}\in V_{1}$ [/mm] und [mm] $v_{2} \in V_{2}$ [/mm] dargestellt werden. Da auch gilt [mm] $v=v_{1}+v_{2}=v_{1}'+v_{2}'$ $(v_{1},v_{1}' \in V_{1})$ [/mm] und [mm] $(v_{2},v_{2}'\in V_{2})$ [/mm] folgt [mm] $v_{1}-v_{1}'=v_{2}'-v_{2} \in V_{1} \cap \V_{2} [/mm] = [mm] \{0 \}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow R^{2}=V_{1}\oplus V_{2}$
[/mm]
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Do 31.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Seien [mm]V_{1}=\IR(1,0)[/mm] und [mm]V_{2}=\IR(\epsilon, \nu)[/mm] in
> [mm]\IR^{2}[/mm] mit [mm]\nu \ne 0[/mm]. Zeige, dass [mm]\IR^{2}=V_{1}\oplus V_{2}[/mm]
>
> Hallo,
>
>
> Ein Vektor [mm]v\in \IR^{2}[/mm] kann als Summe von [mm]v=v_{1}+v_{2}[/mm]
> mit [mm]v_{1}\in V_{1}[/mm] und [mm]v_{2} \in V_{2}[/mm] dargestellt werden.
Warum gilt das? Das hast du nicht gezeigt. Nehme einen Vektor [mm] $\vektor{x_1 \\ x_2}$ [/mm] und zeige, dass er in [mm] $V_1+V_2$ [/mm] liegt, indem du ihn als Linearkombination von [mm] $\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{\epsilon \\ \nu}$ [/mm] schreibst.
> Da auch gilt [mm]v=v_{1}+v_{2}=v_{1}'+v_{2}'[/mm] [mm](v_{1},v_{1}' \in V_{1})[/mm]
> und [mm](v_{2},v_{2}'\in V_{2})[/mm] folgt [mm]v_{1}-v_{1}'=v_{2}'-v_{2} \in V_{1} \cap \V_{2} = \{0 \}[/mm]
Was willst du eigentlich zeigen? Dass [mm] $V_1 \cap V_2 [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] gilt? Oder dass die Darstellung $v = [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2$ [/mm] eindeutig ist?
>
> [mm]\Rightarrow R^{2}=V_{1}\oplus V_{2}[/mm]
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 Do 31.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Warum gilt das?
Das folgt aus der Definition der direkten Summe??
> Was wilst du damit zeigen
Dass das wohldefiniert ist.
> LG
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Do 31.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Aber du sollst doch zeigen, dass [mm] $\IR^2 [/mm] = [mm] V_1 \oplus V_2$ [/mm] gilt. Du verwendest es dann ja als Voraussetzung.
Also, wie bereits gesagt musst du erst zeigen, dass sich jeder Vektor im [mm] $\IR^2$ [/mm] aus Vektoren aus [mm] $V_1$ [/mm] und [mm] $V_2$ [/mm] kombinieren lässt. Damit sind die Räume [mm] $\IR^2$ [/mm] und [mm] $V_1 [/mm] + [mm] V_2$ [/mm] schon mal gleich, da [mm] $V_1 [/mm] + [mm] V_2$ [/mm] als Summe von zwei eindimensionalen Räumen maximal Dimension 2 hat.
Um dann noch zu zeigen, dass die Summe auch direkt ist, dass der Schnitt der Vektorräume [mm] $V_1$ [/mm] und [mm] $V_2$ [/mm] gleich [mm] $\{0\}$ [/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Do 31.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> zuerst [mm] R^{2}
[/mm]
also: [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR^{2} [/mm] \ [mm] \exists u\in V_{1}, [/mm] k [mm] \in V_{2}: [/mm] x=au+bk \ [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IR \Rightarrow \IR^{2}=V_{1}+V_{2}$ [/mm]
Und beim zweiten mache ich ein Gleichungssystem dessen Lösung Null ist und daraus folgt dass der Schnitt [mm] $\{0\}$ [/mm] ist.
stimmt das so?
> Tipps
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Do 31.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > zuerst [mm]R^{2}[/mm]
>
> also: [mm]\forall x \in \IR^{2} \ \exists u\in V_{1}, k \in V_{2}: x=au+bk \ \forall a,b \in \IR \Rightarrow \IR^{2}=V_{1}+V_{2}[/mm]
Das ist wieder das typische kushkush-Durcheinander.
Du mußt zeigen: zu [mm] \vektor{x \\ y} \in \IR^2 [/mm] gibt es a,b [mm] \in \IR [/mm] mit:
[mm] \vektor{x \\ y}=a*\vektor{1 \\ 0}+b* \vektor{\epsilon \\ \nu}
[/mm]
Zu zeigen ist also, dass das LGS
$x=a+b* [mm] \epsilon$
[/mm]
$y= ~~ b* [mm] \nu$
[/mm]
eine Lösung (a,b) hat.
Wenn Du noch zeigen kannst, dass das LGS eindeutig lösnar ist (und das ist der Fall !), dann hast Du auch gezeigt, dass die Summe [mm] V_1+V_2 [/mm] direkt ist.
FRED
>
>
> Und beim zweiten mache ich ein Gleichungssystem dessen
> Lösung Null ist und daraus folgt dass der Schnitt [mm]\{0\}[/mm]
> ist.
>
>
> stimmt das so?
>
> > Tipps
> Danke
>
> Gruss
> kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Do 31.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
ja, die eindeutige Lösung ist 0 deshalb ist doch die direkte Summe erfüllt.
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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