Direkte Summe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei X = [mm] \{-5, -4, ... ,0 , 1, 2, ... , 5\} \subset \IZ. [/mm] Sei V der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der reelwertigen Funktionen auf X.
Sei S [mm] \subset [/mm] V die Menge aller symmetrischen Funktionen auf X (f: X [mm] \mapsto \IR [/mm] ist symmetrisch, wenn für alle x [mm] \in [/mm] X gilt: f(-x) = f(x)).
Sei A [mm] \subset [/mm] V die Menge aller antisymmetrischen Funktionen auf X (f: X [mm] \mapsto \IR [/mm] ist antisymmetrisch, wenn für alle x [mm] \in [/mm] X gilt: f(-x) = -f(x)).
Zeigen Sie:
1.) S, A sind Untervektorräume von V
2.) V = S [mm] \oplus [/mm] A
Berechnen Sie dim(S) und dim(A) und geben Sie Basen für S und A an. |
Hallo, bei dieser Aufgabe habe ich eine Menge Probleme. Ich verstehe zwar, was die von mir wollen und habe die Aufgabe auch schon so gedanklich gelöst aber es geht mir so um Details und um das richtige Aufschreiben.
zu 1.)
Also man muss zeigen, dass S und A UVR von V sind. Dazu muss man zeigen, dass S und A jeweils nicht leer sind. Kann mann jetzt einach sagen, dass S und A nicht leer sind, da z.B. [mm] x^2 [/mm] und [mm] x^3 [/mm] als Funktionen gewählt werden können (, da das ja eine symmetrsiche und eine antisymmetrische Funktion ist)?
Dann muss ich ja noch die Abgeschlossenheit der Vektoraddition und Skalarmultiplikation zeigen.
WIE MACHE ICH DAS?
zu 2.)
Hier muss ich zunächst ma zeigen, dass S [mm] \cap [/mm] A = [mm] \{0}\ [/mm] ist.
Das ist einfach: Denn es folgt aus den Eigenschaften:
f(x) = -f(x) Da diese Gleichung nur bei x=0 gilt hat man gezeigt, dass der Schnitt = Nullvektor ist, oder?
So, wie zeige ich dann dass S und A ganz V aufspannen?
Zu den Dimensionen stelle ich erstma keine Frage, da ich wahrscheinlich, nachher draufkommen könnte...
D.Q.
|
|
| |
|
| Aufgabe | Mit den Dimensionen komme ich auch nicht weiter...also falls das jemand kann, würde ich mich über eine Antwort freuen...
|
D.Q.
|
|
|
| |
|
> Sei X = [mm]\{-5, -4, ... ,0 , 1, 2, ... , 5\} \subset \IZ.[/mm] Sei
> V der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] der reelwertigen Funktionen auf X.
> Sei S [mm]\subset[/mm] V die Menge aller symmetrischen Funktionen
> auf X (f: X [mm]\mapsto \IR[/mm] ist symmetrisch, wenn für alle x
> [mm]\in[/mm] X gilt: f(-x) = f(x)).
> Sei A [mm]\subset[/mm] V die Menge aller antisymmetrischen
> Funktionen auf X (f: X [mm]\mapsto \IR[/mm] ist antisymmetrisch,
> wenn für alle x [mm]\in[/mm] X gilt: f(-x) = -f(x)).
>
> Zeigen Sie:
> 1.) S, A sind Untervektorräume von V
> 2.) V = S [mm]\oplus[/mm] A
> Berechnen Sie dim(S) und dim(A) und geben Sie Basen für S
> und A an.
> Hallo, bei dieser Aufgabe habe ich eine Menge Probleme.
> Ich verstehe zwar, was die von mir wollen und habe die
> Aufgabe auch schon so gedanklich gelöst aber es geht mir so
> um Details und um das richtige Aufschreiben.
>
> zu 1.)
> Also man muss zeigen, dass S und A UVR von V sind. Dazu
> muss man zeigen, dass S und A jeweils nicht leer sind. Kann
> mann jetzt einach sagen, dass S und A nicht leer sind, da
> z.B. [mm]x^2[/mm] und [mm]x^3[/mm] als Funktionen gewählt werden können (, da
> das ja eine symmetrsiche und eine antisymmetrische Funktion
> ist)?
Hallo,
das könntest Du machen.
Arbeitssparend ist es bei solchen Aufgaben mitunter, wenn man sich bei "nichtleer" davon überzeugt, daß das neutrale Element der Addition des Oberraumes in den Mengen liegt. Hier ist das der Fall, die Nullfunktion ist in S und A. Falls man aber Mengen hat, bei denen das nicht der Fall ist, hat man u.U. eine Menge Arbeit gespart.
>
> Dann muss ich ja noch die Abgeschlossenheit der
> Vektoraddition und Skalarmultiplikation zeigen.
> WIE MACHE ICH DAS?
Du willst doch zeigen, daß für [mm] f,g\in [/mm] S die Funktion f+g auch in S liegt.
Daß f+g auch eine reellwertige Funktion auf X ist, ist hier nicht der Knackpunkt, sondern die Tatsache, daß auch f+g symmetrisch ist.
Du mußt also vorrechnen unter Zuhilfenahme der einschlägigen Definitionen, daß für alle [mm] x\in [/mm] X
(f+g)(x)=(f+g)(-x) richtig ist.
Multiplikation mit Skalaren analog.
>
> zu 2.)
> Hier muss ich zunächst ma zeigen, dass S [mm]\cap[/mm] A = [mm]\{0}\[/mm]
> ist.
> Das ist einfach: Denn es folgt aus den Eigenschaften:
> f(x) = -f(x) Da diese Gleichung nur bei x=0 gilt hat man
> gezeigt, dass der Schnitt = Nullvektor ist, oder?
> So, wie zeige ich dann dass S und A ganz V aufspannen?
Tja, da mußt Du halt ein bißchen frickeln...
Zu zeigen ist, daß Du jede beliebige Funktion als Summe einer passenden symmetrischen und einer passenden antisymmetrischen schreiben kannst.
Ich würde das erstmal an ein paar Beispielen ausprobieren.
Nimm z.B. zum Üben mal die Funktion f, die alles außer -5 und 5 auf die Null abbildet, und bei der f(-5)=-2 und f(5)=3 ist.
Nun such' eine symmetrische Funktion [mm] f_s [/mm] und eine antisymmetrische [mm] f_a, [/mm] so daß für alle [mm] x\in [/mm] X
[mm] f(x)=f_s(x)+f_a(x) [/mm] ist.
> Zu den Dimensionen
Hier würde ich erstmal ein Erzeugendensystem suchen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Kann ich ich dann für die Abgeschlossenheit der Vektoraddition folgende Rechnung angeben?
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = f(-x) + g(-x) = (f+g)(-x)
Und bei den antisymmetrischen:
(f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) = (da das ganze auch abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist) (-1)(f(x)) + (-1)(g(x)) = -(f+g)(x)
Sind diese Rechnungen richtig? |
D.Q.
|
|
|
| |
|
> Kann ich ich dann für die Abgeschlossenheit der
> Vektoraddition folgende Rechnung angeben?
So, wie's jetzt dasteht, wäre es sehr mager...
Aber so ging's:
Seine f,g [mm] \in [/mm] S. Dann ist für alle [mm] x\in [/mm] X f(x)=f(-x) und g(x)=g(-x).
Es ist für alle [mm] x\in [/mm] X
>
> (f+g)(x) = f(x) + g(x) = f(-x) + g(-x) = (f+g)(-x),
also ist f+g symmetrisch, dh. [mm] f+g\in [/mm] S.
>
> Und bei den antisymmetrischen:
solltest Du das im gleichen Stil durchführen.
Seien f,g [mm] \in [/mm] ...
>
> (f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) (nach Def. der Addition)
> = (da das ganze auch
> abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist)
???
= -f(-x) + -g(-x) weil...
> =(-1)(f(x)) + (-1)(g(x)) weil...
=(-1)(...) weil...
=...
> = -(f+g)(x)
> Sind diese Rechnungen richtig?
Die Begründung mit der Skalarmultiplikation ist falsch.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Also die Abgeschlossenheit der Addition bei der symmetrsichen Menge nachzuweisen ist jetzt klar.
Aber wie mache ich das bei der antisymmetrischen Menge?
UND: WIE MACHE ICH DAS MIT SKALAREN? Ich bräuchte im Prinzip nur einen Ansatz für die Rechnnung... |
D.Q.
|
|
|
| |
|
> Also die Abgeschlossenheit der Addition bei der
> symmetrsichen Menge nachzuweisen ist jetzt klar.
> Aber wie mache ich das bei der antisymmetrischen Menge?
Hallo,
das hatte ich Dir doch angedeutet, und nicht zuletzt damit Du allein einen sinnvollen Versuch machen kannst, habe ich Dir die symmetrische Variante so genau aufgeschrieben. Nu mach' mal.
> UND: WIE MACHE ICH DAS MIT SKALAREN? Ich bräuchte im
> Prinzip nur einen Ansatz für die Rechnnung...
Im Prinzip genauso.
Du möchtest doch zeigen, daß für alle [mm] f\in [/mm] S und für alle [mm] a\in \IR [/mm] auch die Funktion [mm] a\*f\in [/mm] S ist, daß also die Funktion [mm] a\*f [/mm] symmetrisch ist.
Seien also [mm] a\in \IR [/mm] und [mm] f\in [/mm] S (, dh. für alle [mm] x\in [/mm] X gilt: f(x)=f(-x).)
Es ist [mm] (a\*f)(-x)=... [/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
|
