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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Kaum ist der erste Unitag im neuen Semster und schon sitze ich vor der ersten Aufgabe, die mir ein wenig Kopfzerbrechen bereitet:
Es gilt zu beweisen, dass das Dirac-Maß ein Maß gemäß den Maßeigenschaften Additivität, Monotonie und Regularität ist. (vgl. dazu auch Script ![[]](/images/popup.gif) http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/~ferus/ANA/Ana3.pdf Seite 2f. interne Zählung)
Ich will mit der Additivität beginnen:
Sei $M [mm] \subset \IR^n$ [/mm] eine diskrete Teilmenge und seien $I, [mm] I_1, I_2 \in I(\IR^n)$ [/mm] mit $I = [mm] I_1 \cup' I_2$. ($\cup' [/mm] $ soll die disjunkte Vereinigung sein)
Dann gilt:
[mm] \delta_m(I) = \delta_m (I_1 \cup' I_2)= \#(M \cap (I_1 \cup' I_2)) = \dots[/mm]
[mm] \dots = \#(M\cap I_1) + \#(M \cap I_2) = \delta_m (I_1) + \delta_m (I_2)[/mm]
Was mir fehlt ist eigentlich nur das dazwischen, weil ich nicht weiß, wie ich mit dem #-Operator umgehen kann.
Das gleiche Problem tritt dann nämlich auch in ähnlicher Form bei den anderen Teilbeweisen auf. Deshalb würde ich zunächst erstmal wissen, wie das bei der Additivität geht, den Rest könnte ich daraus folgern, hoffe ich.
Liebe Grüße,
Euer Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo nochmal!
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> [mm]\#((M \cap I_1) \cup' (M \cap I_2)) = \#(M\cap I_1) + \#(M \cap I_2) [/mm],
>
>
> und daher:
>
> [mm]\delta_M(I)[/mm]
>
> [mm]= \delta_M (I_1 \cup' I_2)[/mm]
>
> [mm]= \#(M \cap (I_1 \cup' I_2))[/mm]
>
> [mm]= \#((M \cap I_1) \cup' (M \cap I_2))[/mm]
>
> [mm]\#(M\cap I_1) + \#(M \cap I_2)[/mm]
Kann ich nicht für die disjunkte Vereinigung auch die "normale" Verwenden, mit der Einschränkung [mm] $I_1 \cap I_2 [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] ? Das ist ja das gleiche, weil ich das gerade so definiert bekommen habe. Ich schrieb also die normale Vereinigung und verwende dann diesen Einschachtelungssatz für Mengen, oder wie auch immer der genau lautet. Dann müsste ich nämlich noch [mm] $\#(I_1 \cap I_2) [/mm] = 0 $ abziehen.
Ich glaube aber, das ist nur eine Formalie, oder? Ich müsste doch mit dem [mm] $\cup'$ [/mm] so umgehen können, wie mit dem [mm] $\cup$, [/mm] ich habe doch nur eine Information hinzugewonnen.
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> [mm]\delta_M (I_1) + \delta_M (I_2)[/mm],
>
> was zu zeigen war.
>
> Einverstanden? 
>
> Liebe Grüße
> Stefan
Lieber Gruß,
Micha
PS @stefan: Ich werde dich sicher nich haun, wenn ich keine der läppischen 3 Punkte bekomme.^^ Aber wie in der Fabel sammelt die Ameise schon vor dem Winter die Punkte, damit es sich dann zu Weihnachten ausruhen kann und nicht verhungert, oder wie das war. *grins
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
Ja, mache es so, wie du es jetzt beschrieben hast. Das ist formal sauberer.
Aber du hast Recht, es geht hier nur um Kleinigkeiten (Einhaltung des formalen Apparates), inhaltlich ist eh alles klar.
Liebe Grüße
Stefan
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
, wenn es dann dafür nicht alle Punkte gibt 