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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 So 22.11.2009 | | Autor: | Zweiti |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale:
a) [mm] \integral_{2}^{6}{(3x^2-2x-1) \delta (x-3)dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{5}{cos x \delta (x-\pi)dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ln(x+3) \delta (x+2)dx}
[/mm]
d) [mm] \integral_{-\infty}^{a}{\delta (x-b)dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe versucht die Eigenschaft [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta (x-a)dx}=f(a) [/mm] der [mm] \delta-Fkt. [/mm] zu benutzen.
Dafür hab ich dann bei Aufgabe a) geschaut, wann die [mm] \delta-Fkt. [/mm] ungleich Null ist, das wäre für x=3 der Fall. Jetzt hab ich das eingesetzt und erhalte:
[mm] \integral_{2}^{6}{20 \delta (0)dx}. [/mm] Ist das jetzt gleich 20? Oder muss man die Integrationsgrenzen noch beachten?
Danke und Grüße,
Zweiti
Hab diese Frage nur in diesem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 So 22.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie die folgenden Integrale:
> a) [mm]\integral_{2}^{6}{(3x^2-2x-1) \delta (x-3)dx}[/mm]
> b)
> [mm]\integral_{0}^{5}{cos x \delta (x-\pi)dx}[/mm]
> c)
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ln(x+3) \delta (x+2)dx}[/mm]
> d)
> [mm]\integral_{-\infty}^{a}{\delta (x-b)dx}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe versucht die Eigenschaft
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta (x-a)dx}=f(a)[/mm] der
> [mm]\delta-Fkt.[/mm] zu benutzen.
> Dafür hab ich dann bei Aufgabe a) geschaut, wann die
> [mm]\delta-Fkt.[/mm] ungleich Null ist, das wäre für x=3 der Fall.
Das ist nicht ganz richtig. [mm] $\delta$ [/mm] ist keine Funktion, sondern eine Distribution (verallgemeinerte Funktion). Die Eigenschaft
(*) [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta (x-a)dx}=f(a)[/mm]
ist die einzige, die relevant ist; wäre es eine Funktion, die nur an einem Punkt [mm] $\not=0$ [/mm] ist, so wäre das Integral 0.
> Jetzt hab ich das eingesetzt und erhalte:
> [mm]\integral_{2}^{6}{20 \delta (0)dx}.[/mm] I
Was meinst du mit eingesetzt? [mm] $\delta(0)$ [/mm] ist kein sinnvoller Ausdruck.
Ich vermute, du meinst
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta (x-a)dx}=f(a) = \integral_{-\infty}^{\infty}{f(a)\delta (x-a)dx}[/mm],
> Ist das jetzt gleich 20? Oder muss man die Integrationsgrenzen noch beachten?
Du musst auf jeden Fall die Integrationsgrenzen beachten! Die Gleichung (*) gilt nicht ohne Grund für das Integral von [mm] $-\infty$ [/mm] bis [mm] $+\infty$. [/mm]
Du behilfst dir mit folgendem Trick: Schreibe das Integral von [mm] $x_1$ [/mm] bis [mm] $x_2$ [/mm] um in ein Integral von [mm] $-\infty$ [/mm] bis [mm] $+\infty$, [/mm] indem folgende Funktion hinzunimmst:
[mm] g_{x_1,x_2}(x) := \begin{cases} 0, & x x_2 \end{cases} [/mm]
Damit ist
[mm] \integral_{x_1}^{x_2} f(x) \delta(x-a) dx = \integral_{-\infty}^{\infty} f(x) g_{x_1,x_2}(x) \delta(x-a) dx = f(a) g_{x_1,x_2}(a) [/mm].
Da [mm] $g_{x_1,x_2}(a) [/mm] = 0$ für [mm] $x_1>a$ [/mm] und [mm] $x_2
[mm] \integral_{2}^{6}{(3x^2-2x-1) \delta (x-3)dx} = \integral_{2}^{6}{20 \delta (x-3)dx} [/mm]
In deinem Fall liegt der Punkt $a=3$ zwischen [mm] $x_1=2$ [/mm] und [mm] $x_2=6$, [/mm] sodass tatsächlich $20$ herauskommt.
Für die anderen drei Teilaufgaben musst du das auch wieder prüfen.
Viele Grüße
Rainer
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