Diophantische Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Mo 01.08.2011 | | Autor: | Sebescen |
| Aufgabe | Berechnen sie alle Lösungen der Diophantischen Gleichungen:
a) 5x²+14xy+11y²=35
b) 5x²+14xy+11y²=46 |
Kann mir jemand den Ansatz sagen, wie ich alle Lösungen der Gleichungen bestimme?
Nach x oder y auflösen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Mo 01.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Berechnen sie alle Lösungen der Diophantischen
> Gleichungen:
> a) 5x²+14xy+11y²=35
> b) 5x²+14xy+11y²=46
> Kann mir jemand den Ansatz sagen, wie ich alle Lösungen
> der Gleichungen bestimme?
> Nach x oder y auflösen?
Verrate uns doch mal, was du bereits ueber solche Gleichungen weisst. Sagt dir "binaerquadratische Form" und "Darstellung von Zahlen durch binaerquadratische Formen" etwas?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Di 02.08.2011 | | Autor: | Sebescen |
Das sagt mir nicht wirklich was. Verstehe zwar, was Wikipedia dazu ausgibt, aber weiss nicht, wie ich das anwenden soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Di 02.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Berechnen sie alle Lösungen der Diophantischen
> Gleichungen:
> a) 5x²+14xy+11y²=35
> b) 5x²+14xy+11y²=46
> Kann mir jemand den Ansatz sagen, wie ich alle Lösungen
> der Gleichungen bestimme?
> Nach x oder y auflösen?
Wenn ihr keine "fortgeschrittenen" Tools hattet, wirst du wohl elementar vorgehen muessen. Loese die Gleichungen nach $x$ auf und untersuche, fuer welche Wahl von $y$ eine ganzzahlige Loesung fuer $x$ herauskommt. Du hast dann unter der Wurzel einen Ausdruck der Art $b - a [mm] \cdot y^2$ [/mm] mit ganzen Zahlen $a, b > 0$, weswegen $|y| [mm] \le \sqrt{b/a}$ [/mm] gilt und du somit nur ein "paar" Werte fuer $y$ durchprobieren musst.
Es gibt uebrigens 8 Loesungen bei a) und keine bei b).
LG Felix
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Hallo Sebescen,
Felix ist mir gerade zuvorgekommen mit dem Tipp, es mit
den Mitteln zu versuchen, die dir ohnehin zur Verfügung
stehen: Lösungsformel, und dann schauen, welche ganz-
zahligen Werte von y überhaupt in Frage kommen und
auch noch zu ganzzahligen Werten von x führen.
Das ist dann zwar eventuell nicht der Weg, der in der
Zahlentheorie gewünscht ist ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Di 02.08.2011 | | Autor: | Sebescen |
Danke für die schnelle Hilfe.
Wie sieht den der zahlentheoretische Weg aus? Vielleicht verstehe ich ihn anhand von dem Beispiel?
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> Wie sieht denn der zahlentheoretische Weg aus? Vielleicht
> verstehe ich ihn anhand von dem Beispiel?
Damit habe ich mich nie näher beschäftigt.
Lass dich doch mal überraschen, was deine
Uni dazu zu bieten hat ...
LG Al-Chw.
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