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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Sa 09.06.2007 | | Autor: | knol |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich nehme mal an, dass du versuchen willst, die gleichförmige Bewegung eines Gegenstandes, sprich mit konstanter Geschwindigkeit, durch eine Geradengleichung auszudrücken.
Nehemen wir an, wir haben ein Auto. Dieses bewege sich vom Zeitpunkt 0 vom Punkt P(0;0).
Es habe die Geschiwndigkeit v=20m/s, und bewege sich durch den Punkt Q(3;4).
Dann sieht deine Gerdengleichung ja erst einmal so aus:
[mm] \vec{x}=\vektor{0\\0}+t*\vektor{3\\4}, [/mm] da es sich ja in Richtung des Punktes Q bewegt.
Nun würde sich, wenn wir die Angaben in Meter haben, dein Fahrzeug in t=1s um [mm] \wurzel{3^2+4^2}=5m [/mm] bewegen.
Da du aber die Geschwindigkeit mit v=20m/s vorgegeben hast, und es sich also pro Zeiteinheit (wenn wir t=1 als 1s interpretieren) momentan um 5m bewegen würde, ist diese Angabe offensichtlich falsch.
Um das auszubügeln normiert man zunächst den Richtungsvektor: der Betrag des Richtungsvektors ist 5 (s.h. oben), also teilen wir durch fünf:
[mm] \vec{x}=\vektor{0\\0}+t/5 [/mm] * [mm] \vektor{3\\4}
[/mm]
Nun bewegt sich dein Auto pro Zeiteinheit um einen Meter.
Da es sich aber pro Zeiteinheit gleich eine Sekunde um 20m vorwärts bewegen soll, mutliplizieren wir den Richtungsvektor mit 20:
[mm] \vec{x}=\vektor{0\\0}+t/5 [/mm] *20 [mm] *\vektor{3\\4}
[/mm]
ALso sieht deine Geradengleichung im Endeffekt dann so aus:
[mm] \vec{x}=\vektor{0\\0}+4*t*\vektor{3\\4}
[/mm]
Gucken wir uns das nun an, wo sich dein Fahrzeug nach 1s befindet:
Bei [mm] \vec{x}=\vektor{12\\16}
[/mm]
Berechnen wir mal den Betrag dieses Vektors, so stellen wir fest:
[mm] \wurzel{144+256}=20
[/mm]
=> Dein Farhzeug hat sich also 20m innerhalb einer Sekunde bewegt, welches sich mit der Geschiwndigkeit deckt.
Jetzt musst du nur noch berechnen, wie lange das Fahrzeug braucht, um den Punkt S zu erreichen, und wie lange das Fahrzeug braucht, um den Punkt T zu erreichen.
Anhand der Zeit, die es braucht, kannst du auch beurteilen, welchen Ort es als erstes erreicht.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Sa 09.06.2007 | | Autor: | knol |
Guten Abend Kroni, ich habe deine Vorgehensweise aus eine andere Aufgabe übertragen und bekam nichts heraus:
U( 1/2/3) P(4/5/6)
V= 8 m/s
X= (1/2/3) + t*(4/5/6)
Strecke in 1 sec.: [mm] \wurzel{5^2+7^2+9^2} [/mm] = 12,4
X= (1/2/3)* [mm] \bruch{8}{12,4} [/mm] *t*(4/5/6)
X= (1/2/3)+ 0,64*t*(4/5/6)
Fahrzeug nach 1 Sekunde bei: (3,58/ 5,225/ 6,87)
Betrag des Vektors: [mm] \wurzel{86,7}= [/mm] 9,31
Stimmt also nicht!
Wie berechne ich, zu welchem Zeitpunkt das Fahrzeug den Punkt P erreicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Kroni |
> Guten Abend Kroni,
Hi.
> ich habe deine Vorgehensweise aus eine
> andere Aufgabe übertragen und bekam nichts heraus:
> U( 1/2/3) P(4/5/6)
> V= 8 m/s
>
> X= (1/2/3) + t*(4/5/6)
Der Richtungsvektor passt nicht! Es muss ja in die Richtung von U nach P gehen, sprich: Der Richtungsvektor lautet:
[mm] \vec{r}=\vektor{4-1\\5-2\\6-3}
[/mm]
Dementsprechend muss deine Geradengleichung auch lauten:
[mm] \vec{x}=\vektor{1\\2\\3}+t*{3\\3\\3}
[/mm]
> Strecke in 1 sec.: [mm]\wurzel{5^2+7^2+9^2}[/mm] = 12,4
> X= (1/2/3)* [mm]\bruch{8}{12,4}[/mm] *t*(4/5/6)
> X= (1/2/3)+ 0,64*t*(4/5/6)
> Fahrzeug nach 1 Sekunde bei: (3,58/ 5,225/ 6,87)
> Betrag des Vektors: [mm]\wurzel{86,7}=[/mm] 9,31
> Stimmt also nicht!
Jip, liegt dran, weil du den falschen Richtungsvektor genutzt hast.
Es muss heißen: [mm] |\vec{r}|=\wurzel{3^2+3^2+3^2}=\wurzel{27}
[/mm]
Dann durch [mm] \wurzel{27} [/mm] teilen, und mit 8 m/s multiplizierne, dann sollte es stimmen!
>
> Wie berechne ich, zu welchem Zeitpunkt das Fahrzeug den
> Punkt P erreicht?
Mit Hilfe der richtigen Geradengleichng setzt du dann an:
[mm] \vec{x}=\vektor{4\\5\\6} [/mm] und löst nach t auf.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mo 11.06.2007 | | Autor: | knol |
Hey Kroni, wie berechnet man nun, wann das Fahrzeug die 2-3-Ebene durchstößt? Setze ich dafür: [mm] x_{3}=0?
[/mm]
Und wie berechne ich, wie weit das Fahrzeug nach 5 sekunden/minuten, wie auch immer, vom Koordinatenursprung entfernt ist? Setze ich 5 ein und bekomme dann einen vektor und der sagt gleichzeitig, wie weit das Fahrzeug vom Koordinatenursprung entfernt ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hey Kroni,
Hi.
>wie berechnet man nun, wann das Fahrzeug die
> 2-3-Ebene durchstößt? Setze ich dafür: [mm]x_{3}=0?[/mm]
Meinst du die [mm] x_2-x_3 [/mm] Ebene? Wenn du diese meinst, so muss [mm] x_1 [/mm] 0 sein!
Stell dir dei [mm] x_2-x_3 [/mm] Ebene doch mal vor, dann fällt dir schon auf, dass [mm] x_1 [/mm] zwangsläufig 0 sein muss.
>
> Und wie berechne ich, wie weit das Fahrzeug nach 5
> sekunden/minuten, wie auch immer, vom Koordinatenursprung
> entfernt ist? Setze ich 5 ein und bekomme dann einen vektor
> und der sagt gleichzeitig, wie weit das Fahrzeug vom
> Koordinatenursprung entfernt ist?
Wenn du deine Geradengleichung so normiert hast, dass das Fahrzeug in einer Sekunde auch genau v*t Meter fährt, so weist du, wenn du für t 5 einsetzt, wo es sich nach 5s befindet.
Du bekommst aber dann einen Vektor heruas und keinen Abstand!
Dann kannst du allerdings mal den Verbindungsvektor Ursprung Punkt bestimmen (was zweifelsohne der Vektor ist, den du herausbekommst), und dann davon den Betrag bestimmen, dann weist du, wie weit dein "Ding" dann vom Ursprung ist.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Mo 11.06.2007 | | Autor: | saldring |
Stelle dir vor, die Gleichung:
[mm] \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}*t+\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}
[/mm]
ist gegeben, dies ist die Bahn eines Fahrzeugs.
Ein weiteres Fahrzeug befindet sich zum Zeitpunkt 0, bei(1/2/3).
Es soll im Punkt P( mit dem 1. Fahrzeug zusammentreffen. Nun soll man die bewegungsgleichung von Fahrzeug 2 angeben.
Also den stützvektor hab ich schon. und wie errechne ich den richtungsvektor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
> Stelle dir vor, die Gleichung:
> [mm]\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}*t+\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}[/mm]
> ist gegeben, dies ist die Bahn eines Fahrzeugs.
Ist der Richtungsvektor normiert? Hast du eine Geschwindigkeit oder so vorgegeben?
> Ein weiteres Fahrzeug befindet sich zum Zeitpunkt 0,
> bei(1/2/3).
> Es soll im Punkt P( mit dem 1. Fahrzeug zusammentreffen.
> Nun soll man die bewegungsgleichung von Fahrzeug 2
> angeben.
> Also den stützvektor hab ich schon. und wie errechne ich
> den richtungsvektor?
Der Stützvektor ist ja wohl der Punkt (1;2;3).
Dann weist du doch, dass es von dort aus ZWINGEND durch den Punkt P muss, also kannst du den Richtungsvektor berechen!
Es ist dadurch aber noch nicht garantiert, dass sich die beiden Fahrzeuge gleichzeitig im Punkt P treffen, deshalb ja auch meine Frage:
Hast du für eines der beiden Fahrzeuge eine Geschwindigkeit vorgegeben? Oder weist du generell etwas über die Geschwindigkeiten?
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mo 11.06.2007 | | Autor: | saldring |
Wie würde sich die Bewegungsgleichung des einen Fahrzeugs(2) ändern, wenn für 1 eine Geschwindigkeit angegeben wäre?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
Na die Richtung des Fahrzeuges ändert sich wohl kaum.
Aber du musst die Länge verändern, denn wenn sich die Fahrzeuge treffen sollen im Punkt P, und du weist, dass das eine Fahrzeug t Sekunden braucht, um am Punkt P angelangt zu sein, sollte dein zweites Fahrzeug vom Startpunkt bis zum Punkt P genau so lange brauchen.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mo 11.06.2007 | | Autor: | saldring |
Und wie verändert man die länge?
Berechnet man einfach, wie lange das objekt dorthin brauchen würde ung teilt man das dann wieder durch t und multipliziert das mit der gewünschten geschwindigkeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
Du kannst doch dann ausrechnen, wie Lange Fahrzeug 1 bis zum Punkt P braucht.
Dann muss gelten, dass dein Fahrzeug 2 nach der selben Zeit t ebenfalls im Punkt P ist.
Sprich: Du musst den Richtungsvektor verkürzen oder verlängern. Das geht, indem man mit einer Zahl (Skalar) multipliziert.
D.h. vor dem Richtungsvektor stehtd ann [mm] t*c*\vec{u} [/mm] , wobei u dein Richtungsvektor ist.
Es gilt dann, c zu bestimmen, um den RV zu verlängern oder zu verkürzen.
LG
Kroni
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