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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 So 13.11.2011 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | a) Sei V n-dimensional und seien U, W zwei verschiedene (n-1)-dimensionale Teilräume von V . Zeige:
dim(U [mm] \cap [/mm] W) = n-2.
b) Seien U und W Teilräume des [mm]\IR^6[/mm] mit dim U = 3, dim W = 5. Zeige dim (U [mm]\cap[/mm] W) [mm]\geq[/mm] 2 und belege durch ein Beispiel, dass dim(U [mm]\cap[/mm] W) = 2 möglich ist. |
Hallo,
für diese Aufgabe benötige ich die Dimensionsformel für UVR.
dim(U+W) = dim U + dim W – dim (U [mm] \cap [/mm] W)
Für Aufgabe b) also dim U = 3, dim U = 5 und dann habe ich 2 Möglichkeiten:
U+W kann als TR des [mm]\IR^6[/mm] maximal die Dimension 6 haben, dann wäre dim(U[mm] \cap [/mm]W) = 2. Andererseits muss U+W mindestens die Dimension 5 haben (wegen W), woraus dim (U [mm] \cap [/mm] W) = 3 folgt.
Wie formuliere ich das am besten mathematisch korrekt?
Als Beispiel würde ich mir die Einheitsvektoren nehmen, dass z.B. U von [mm]e_1, e_2, e_3[/mm] erzeugt wird und W von [mm]e_2, ..., e_6[/mm]. Kann ich einfach sagen, dass die Dimension von U+W dann 6 ist, da ich die Basis von W mit [mm]e_1[/mm] zu einer Basis von U+W ergänzen kann?
Bei a) habe ich auch das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich da sauber argumentieren muss.
dim (U+W) kann maximal n sein kann. Da U und W beide die Dimension n-1 haben und verschieden sind, muss dim (U+W)= n sein, es gibt in der Basis von W mindestens einen Vektor, der l.u. zu denen aus U ist. der Rest würde sich dann aus der Dimensionsformel ergeben
Viele Grüße,
Palonina
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> a) Sei V n-dimensional und seien U, W zwei verschiedene
> (n-1)-dimensionale Teilräume von V . Zeige:
> dim(U [mm]\cap[/mm] W) = n-2.
> b) Seien U und W Teilräume des [mm]\IR^6[/mm] mit dim U = 3, dim
> W = 5. Zeige dim (U [mm]\cap[/mm] W) [mm]\geq[/mm] 2 und belege durch ein
> Beispiel, dass dim(U [mm]\cap[/mm] W) = 2 möglich ist.
>
> Hallo,
>
> für diese Aufgabe benötige ich die Dimensionsformel für
> UVR.
>
> dim(U+W) = dim U + dim W – dim (U [mm]\cap[/mm] W)
Für (a) kannst du so argumentieren:
Da U+W ein teilraum von V ist, gilt [mm] dim(U+W)\le [/mm] n und somit
[mm] $\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)\le n\Leftrightarrow\dim(U\cap W)\ge\dim U+\dim [/mm] W-n=n-2$
Da [mm] U\cap [/mm] W ein echter teilraum von U ist (wegen $U [mm] \ne [/mm] W$), muss andererseite [mm] $\dim(U\cap W)<\dim [/mm] U=n-1$ sein,
also folgt [mm] $\dim(U\cap [/mm] W)=n-2$.
>
> Für Aufgabe b) also dim U = 3, dim U = 5 und dann habe ich
> 2 Möglichkeiten:
> U+W kann als TR des [mm]\IR^6[/mm] maximal die Dimension 6 haben,
> dann wäre dim(U[mm] \cap [/mm]W) = 2. Andererseits muss U+W
> mindestens die Dimension 5 haben (wegen W), woraus dim (U
> [mm]\cap[/mm] W) = 3 folgt.
>
> Wie formuliere ich das am besten mathematisch korrekt?
Wie oben:
[mm] $\dim(U\cap W)\ge\dim U+\dim W-\dim\IR^6=3+5-6=2$
[/mm]
>
> Als Beispiel würde ich mir die Einheitsvektoren nehmen,
> dass z.B. U von [mm]e_1, e_2, e_3[/mm] erzeugt wird und W von [mm]e_2, ..., e_6[/mm].
> Kann ich einfach sagen, dass die Dimension von U+W dann 6
> ist, da ich die Basis von W mit [mm]e_1[/mm] zu einer Basis von U+W
> ergänzen kann?
>
Da U+W alle Einheitsvektoren enthält, muss [mm] $U+W=\IR^6$ [/mm] gelten
>
> Bei a) habe ich auch das Problem, dass ich nicht weiß, wie
> ich da sauber argumentieren muss.
> dim (U+W) kann maximal n sein kann. Da U und W beide die
> Dimension n-1 haben und verschieden sind, muss dim (U+W)= n
> sein, es gibt in der Basis von W mindestens einen Vektor,
> der l.u. zu denen aus U ist. der Rest würde sich dann aus
> der Dimensionsformel ergeben
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> Viele Grüße,
> Palonina
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