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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Mi 17.11.2010 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Für die Untervektorräume U:= span ( [mm] \vektor{5 \\ -3 \\ 4 \\ 3} \vektor{ 6\\2\\0\\-2} \vektor{-7\\7\\-8\\-7}) [/mm] und V:= [mm] (\vektor {1\\-3\\2\\1} \vektor {1\\-2\\5\\0} \vektor{6\\2\\-1\\4}) [/mm] von [mm] R^4 [/mm] bestimmen Sie die Dimensionen
dim (U + V) und (U [mm] \cap [/mm] V) |
So jetzt weiß ich leider nicht, wie ich dim( U [mm] \cap [/mm] V) berechnen kann???
Die Dimensionen von U und V habe ich schon bestimmt
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:27 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Sissenge,
Die Dimension von U [mm] \cap [/mm] V kann natürlich nicht größer als die von U oder V.
Du musst überprüfen, wieviele der Basisvektoren von einem der beiden Vektorräume sich durch die Basisvektoren des anderen (durch Linearkombinationen) darstellen lassen.
Die Anzahl der Basisvektoren, für welche das möglich ist, ist die Dimension von U [mm] \cap [/mm] V.
Verstehst du auch, warum das so sein muss?
(Es ist eigentlich ganz einfach)
Viele Grüße,
Vilietha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mi 17.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Also dim(U) = 2 und dim(V)=3
dh die dimension des Schnitts kann nciht größer als 3 sein..
Jetzt muss ich also die Basisvektoren von U und V bestimmen oder?? und dann schauen ob sie Linearkombinationen voneinander sind...
1. wie bstimme ich nochmal eine Basis?? Steh gerade ein bisschen auf dem Schlauch!
2. nein ich weiß nicht wieso das so ist
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Hi,
> Also dim(U) = 2 und dim(V)=3
>
> dh die dimension des Schnitts kann nciht größer als 3
> sein..
>
> Jetzt muss ich also die Basisvektoren von U und V bestimmen
> oder?? und dann schauen ob sie Linearkombinationen
> voneinander sind...
>
> 1. wie bstimme ich nochmal eine Basis?? Steh gerade ein
> bisschen auf dem Schlauch!
> 2. nein ich weiß nicht wieso das so ist
bei einer solchen Aufgabe mache wieder gerne Werbung für den Zassenhausalgorithmus. Der liefert dir genau, was du suchst und das dann auch noch in Algorithmusform ohne viel nachzudenken. Natürlich kannst du es auch per und LK versuchen. Doch dank Zassenhaus geht es viel leichter von der Hand.
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(Antwort) fehlerhaft | | Datum: | 21:34 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
Na die Vektoren, welche du in deinem ersten Post angegeben hast, die Vektoren, welche deine Räume U und V definieren, mit diesen kannst du eine Basis bilden.
Wenn V eine Dimension von 3 hat, dann bilden die drei Vektoren die den Raum definieren eine Basis.
Da U nur dim 2 hat, reichen zwei von den drei Vektoren aus, um eine Basis zu bilden.
Wie hast du eigentlich festgestellt, dass U nur eine Dimension von 2 hat?
Du hast geschaut, wieviele der Vektoren linear unabhängig voneinander sind, oder?
Genauso kannst du nun auch bestimmen, ob die Basisvektoren von V und U linear Abhängig sind.
Aber nun zur Frage ob ist die Dimenson von U [mm] \cap [/mm] V eigentlich gleich der Anzahl der Basisvektoren des eines Raumes, welche sich durch Linearkombinationen von Basisvektoren des anderen Vektorraumes darstellen lassen.
Beide Vektorräume, U und V enthalten ja alle Linearkombinationen von Vektoren innerhalb des Raumes. Wenn sich also irgendein Vektor von U durch eine Linearkombination von irgendwelchen Vektoren in V darstellen lässt, dann enthält U auch alle anderen Linearkombinationen (LK) von den selben Vektoren aus V. Und diese Vektoren befinden sich dann im Schnitt von U und V.
Wenn aber der Schnitt von U und V leer ist, dann bedeutet dies, dass sich kein Vektor von U durch eine LK von Vektoren in V darstellen lässt, und genauso umgekehrt.
Ich hoffe, dies hilft Dir.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:03 Mi 17.11.2010 | | Autor: | sissenge |
ahhh ok...
das heißt ich betrachte jetzt alle Vektoren aus U zum Beispiel und schaue ob sie sich durch Multiplikation mit einem Faktor zu einem Vektor aus V bilden lassen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Mi 17.11.2010 | | Autor: | sissenge |
So jetzt habe ich festgestellt, dass es einen solchen Vektor nicht gibt!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:25 Do 18.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Sitmmt das, dass es keinen Vektor gibt, der sich als Linearkombination eines anderen bilden lässt???
Jetzt heißt das, dass mein Schnitt leer ist?? also meine dimension = 0 ???
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> Sitmmt das, dass es keinen Vektor gibt, der sich als
> Linearkombination eines anderen bilden lässt???
Hallo,
es stimmt, daß sich kein Vektor des gegebenen Erzeugendensystems von U als Linearkombination der gegebenen erzeugenden Vektoren von V schreiben lassen.
Für die Fagestellung, die bearbeitet werden soll, ist dies aber ohne Belang.
>
> Jetzt heißt das, dass mein Schnitt leer ist??
Nein.
Es kann auch der Schnitt zweier Untervektorräume gar nicht leer sein.
Gruß v. Angela
> also meine
> dimension = 0 ???
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:27 Do 18.11.2010 | | Autor: | angela.h.b. |
> Wenn V eine Dimension von 3 hat, dann bilden die drei
> Vektoren die den Raum definieren eine Basis.
> Da U nur dim 2 hat, reichen zwei von den drei Vektoren aus,
> um eine Basis zu bilden.
Hallo,
mit "Vektoren, die den Raum definieren" meinst Du die jeweils angegebenen erzeugenden Vektoren.
Das, was Du hier schreibst, ist also richtig.
> Aber nun zur Frage ob ist die Dimenson von U [mm]\cap[/mm] V
> eigentlich gleich der Anzahl der Basisvektoren des eines
> Raumes, welche sich durch Linearkombinationen von
> Basisvektoren des anderen Vektorraumes darstellen lassen.
>
> Beide Vektorräume, U und V enthalten ja alle
> Linearkombinationen von Vektoren innerhalb des Raumes.
ja, alle Linearkombinationen ihres jeweiligen Erzeugendensystems.
> Wenn
> sich also irgendein Vektor von U durch eine
> Linearkombination von irgendwelchen Vektoren in V
> darstellen lässt,
dann liegt dieser Vektor im Schnitt von U und V.
> dann enthält U auch alle anderen
> Linearkombinationen (LK) von den selben Vektoren aus V.
Nein.
Nimm wieder mein Beispiel aus der ersten Korrekturmitteilung:
$ [mm] U:=span(\vektor{1\\1\\0}, \vektor{1\\2\\0}), [/mm] $
$ [mm] V:=span(v_1:=\vektor{0\\1\\1}, v_2:=\vektor{0\\0\\1}). [/mm] $
es ist der Vektor [mm] u:=\vektor{0\\2\\0} \in [/mm] U,
und es ist [mm] u=2*v_1+(-2)*v_2.
[/mm]
Mitnichten aber liegen sämtliche Linearkombinationen von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] in U!
Richtig ist allerdings dies: alle Linearkombinationen des Vektors u liegen dann ebenfalls in V.
> Wenn aber der Schnitt von U und V leer ist,
Überleg' Dir mal, warum dieser Fall überhaupt nicht eintreten kann.
Gruß v. Angela
> dann bedeutet
> dies, dass sich kein Vektor von U durch eine LK von
> Vektoren in V darstellen lässt, und genauso umgekehrt.
>
> Ich hoffe, dies hilft Dir.
>
> Viele Grüße,
> Vilietha
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(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 11:13 Do 18.11.2010 | | Autor: | angela.h.b. |
> Hallo Sissenge,
>
> Die Dimension von U [mm]\cap[/mm] V kann natürlich nicht größer
> als die von U oder V.
Hallo,
stimmt.
> Du musst überprüfen, wieviele der Basisvektoren von
> einem der beiden Vektorräume sich durch die Basisvektoren
> des anderen (durch Linearkombinationen) darstellen lassen.
>
> Die Anzahl der Basisvektoren, für welche das möglich ist,
> ist die Dimension von U [mm]\cap[/mm] V.
Das ist falsch.
Ein Beispiel:
[mm] U:=span(\vektor{1\\1\\0}, \vektor{1\\2\\0}),
[/mm]
[mm] V:=span(\vektor{0\\1\\1}, \vektor{0\\0\\1}).
[/mm]
Keiner der beiden oben gegebenen Basisvektoren von U läßt sich als Linearkombination der beiden gegebenen Basisvektoren von V schreiben, und umgekehrt klappt das auch nicht.
Ihr Schnitt jedoch hat die Dimension 1, sie schneiden sich in der y-Achse.
Ich denke, daß Dir in diesem Moment klar wird, an welcher Stelle Du falsch gedacht hast.
Gruß v. Angela
>
> Verstehst du auch, warum das so sein muss?
> (Es ist eigentlich ganz einfach)
>
> Viele Grüße,
> Vilietha
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 13:04 Do 18.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Angela,
Vielen Dank für deine Überprüfung.
Du hast natürlich vollkommen Recht...
wirklich ein ungeschickter Fehler von mir.
Viele Grüße,
Vilietha
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> Für die Untervektorräume U:= span ( [mm]\vektor{5 \\
-3 \\
4 \\
3} \vektor{ 6\\
2\\
0\\
-2} \vektor{-7\\
7\\
-8\\
-7})[/mm]
> und V:= [mm](\vektor {1\\
-3\\
2\\
1} \vektor {1\\
-2\\
5\\
0} \vektor{6\\
2\\
-1\\
4})[/mm]
> von [mm]R^4[/mm] bestimmen Sie die Dimensionen
>
> dim (U + V) und (U [mm]\cap[/mm] V)
> So jetzt weiß ich leider nicht, wie ich dim( U [mm]\cap[/mm] V)
> berechnen kann???
> Die Dimensionen von U und V habe ich schon bestimmt
Hallo,
die Tips, die Du bisher bekommen hast, fand ich nur mittelgut, denn sie hängen sich sehr an der Ermittlung Basen der einzelnen Räume auf.
Diese aber brauchst Du zur Beantwortung der gestellten Frage gar nicht unbedingt zu kennen.
Du schreibst nicht, wie Du die Dimensionen von U und V bestimmt hast, jedenfalls hast Du die richtigen Dimensionen herausbekommen.
Wenn Du weißt, daß U+V= [mm] span($\vektor{5 \\ -3 \\ 4 \\ 3}, \vektor{ 6\\2\\0\\-2}, \vektor{-7\\7\\-8\\-7},\vektor {1\\-3\\2\\1}, \vektor {1\\-2\\5\\0}, \vektor{6\\2\\-1\\4}),
[/mm]
dann kannst Du ziemlich leicht die Dimension dieses Raumes bestimmen.
Den wesentlichen Tip zur Ermittlung der Dimension von [mm] U\cap [/mm] V gibst Du Dir in der Überschrift dann selbst: die Dimensionsformel.
Du solltest mal in Deinen Unterlagen kramen: es gibt eine Formel, die einen Zusammenhang herstellt zwischen den Dimensionen von U, V, U+V und [mm] U\cap [/mm] V.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Do 18.11.2010 | | Autor: | sissenge |
ahh ok, ich wusste nicht dass span( U+V) alle Vektoren von U und V sind!!
Aber dennoch eine Frage wie berechne ich ohen Dimensionsformel bzw ohne dass ich U+V berechne dim(U [mm] \cap [/mm] V)
???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 18.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Ich habe jetzt für dim(U+V) = 4 raus stimmt das???
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> Ich habe jetzt für dim(U+V) = 4 raus stimmt das???
Hallo,
das hatte ich vorhin auch ausgerechnet.
Gruß v. Angela
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> ahh ok, ich wusste nicht dass span( U+V) alle Vektoren von
> U und V sind!!
Hallo,
es sind alle Linearkombinationenen , die man aus denen von U und V bilden kann.
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> Aber dennoch eine Frage wie berechne ich ohen
> Dimensionsformel bzw ohne dass ich U+V berechne dim(U [mm]\cap[/mm]
> V)
Wenn [mm] u_1, u_2, u_3 [/mm] die erzeugenden Vektoren von U und [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] die von V sind,
so kannst Du eine Basis von [mm] U\cap [/mm] V berechnen, indem Du erstmal
[mm] ru_1+su_2+tu_3=r'v_1+s'v_2+t'v_3
[/mm]
löst.
Wenn Du das getan hast, kann Dir sicher jemand weiterhelfen.
Aber warum willst Du auf den bequemen Weg mit der Dimensionsformel verzichten?
Gruß v. Angela
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