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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Di 08.01.2008 | | Autor: | hundert |
| Aufgabe | | Seine [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] endlich erzeugte Unterräume des K-Vektorraums V mit [mm] U_1 +U_2 [/mm] =V. Zeigen sie: dim V [mm] \le [/mm] dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm] |
hallo,...
ein tipp zur lösung dieser aufgabe meines tutors lautet, dass man die basen von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] nehmen soll. ich konnt aber leider mit dem tipp nicht wirklich was anfangen,. also hab ich mir folgende lösung überlegt:
da [mm] V=U_1+U_2 [/mm] folgt:
dim [mm] (U_1+U_2)\le [/mm] dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2
[/mm]
= dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] (U_1 \setminus U_2) \le [/mm] dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2
[/mm]
= dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] (U_2 \setminus U_1\cap U_2) \le [/mm] dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2
[/mm]
= dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm] - dim [mm] (U_1\cap U_2)\le [/mm] dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2
[/mm]
daraus folgt: wenn [mm] U_1\cap U_2 [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] dann
dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm] = dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2
[/mm]
wenn [mm] U_1\cap U_2 \ne \emptyset [/mm] dann
dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm] - dim [mm] (U_1\cap U_2)\le [/mm] dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2
[/mm]
- dim [mm] (U_1\cap U_2) \le [/mm] 0 wahre aussage darsu folgt:
dim [mm] (U_1+U_2)\le [/mm] dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2
[/mm]
daraus folgt behauptung
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> Seine [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] endlich erzeugte Unterräume des
> K-Vektorraums V mit [mm]U_1 +U_2[/mm] =V. Zeigen sie: dim V [mm]\le[/mm]
> dim [mm]U_1[/mm] + dim [mm]U_2[/mm]
> hallo,...
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> ein tipp zur lösung dieser aufgabe meines tutors lautet,
> dass man die basen von [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] nehmen soll.
Hallo,
der Tip Deines Tutors ist gut und führt zur Lösung.
Zu Deinem Lösungsansatz:
Die Gleichheitszeichen am Zeilenanfang sollen Folgepfeile sein, oder was?
Das muß klar ersichtlich sein.
Du machst im Beweis gleich am Anfang einen Fehler,
Du schreibst
> [mm] dim(U_1 \setminus U_2)
[/mm]
Abgesehen davon, daß Du an der Stelle eher [mm] U_2 [/mm] \ [mm] U_1 [/mm] meintest:
Es ist doch [mm] U_1 \setminus U_2 [/mm] gar kein Vektorraum! Also hat die Menge keine Basis, also keine Dimension.
Arbeite nicht mit den kompletten Unterräumen, sondern mit deren Basen.
[mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] haben beide eine Basis.
V ist die Menge, die v. [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] erzeugt wird.
Denk an Basisergänzung.
Gruß v. Angela
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