Dimension von Vektorräumen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 So 04.12.2005 | | Autor: | Kiki3000 |
| Aufgabe | "Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über dem Körper K, und K besitze unendlich viele Elemente. Man zeige:
(i) Ist n [mm] \ge [/mm] 2, so enthält V unendlich viele verschiedene Teilräume der Dimension n-1.
(ii) Ist V=V1 [mm] \cup [/mm] V2 [mm] \cup [/mm] ... [mm] \cup [/mm] Vr endliche Vereinigung von Teilräumen V1,...,Vr, so gibt es notwendig ein j mit Vj=V.
Hinweis zu (ii): Dies beweise man mittels Induktion über dim(V). Im Induktionsschritt wähle man einen n-1 dimensionalen Unterraum W von V mit W [mm] \not= [/mm] vi, i=1,...,r." |
Ich bitte euch: HELFT mir, ich peil die Aufgabenstellung nicht mal und ich muss das morgen abgeben!!!
Ich danke euch schonmal, auch wenn ich noch keine Antwort hab! Ihr seid echt meine letzte Rettung!!
lG Kiki
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Hallo,
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> "Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über dem Körper K,
> und K besitze unendlich viele Elemente. Man zeige:
> (i) Ist n [mm]\ge[/mm] 2, so enthält V unendlich viele verschiedene
> Teilräume der Dimension n-1.
> (ii) Ist V=V1 [mm]\cup[/mm] V2 [mm]\cup[/mm] ... [mm]\cup[/mm] Vr endliche
> Vereinigung von Teilräumen V1,...,Vr, so gibt es notwendig
> ein j mit Vj=V.
> Hinweis zu (ii): Dies beweise man mittels Induktion über
> dim(V). Im Induktionsschritt wähle man einen n-1
> dimensionalen Unterraum W von V mit W [mm]\not=[/mm] vi,
> i=1,...,r."
> ich peil die Aufgabenstellung
> nicht mal und ich muss das morgen abgeben!!!
zu (i)
Laß uns dieser Aufgabe erst einmal ein Gesicht geben, und uns die Aussage an anschaulichen Beispielen vorstellen.
Was da ausgesagt wird, ist, daß es z.B. in der Koordinatenebene (dim=2) unendlich viele verschiedene Geraden durch den Nullpunkt (VRe der Dimension 1) gibt. Oder daß es im [mm] \IR^3 [/mm] unendlich viele Ebenen durch den Koordinatenursprung gibt.
Nun zur Aufgabe als solcher: V ist n-dimensional, also gibt es eine Basis [mm] (b_1,...,b_n)
[/mm]
Schau Dir nun die Unterräume [mm] U_k:= [/mm] für k [mm] \in [/mm] K an.
Die sind n-1 dimensional, und für k [mm] \not=l [/mm] ist [mm] U_k \not= U_l. [/mm] Da K unendlich ist, hast Du unendlich viele (n-1)- dimensionale URe gefunden.
(ii)
Anschaulich: wenn Du endlich viele Geraden durch den Nullpunkt vereinigst, kriegst Du nicht die ganz Koordinatenebene.
Wenn Du endlich viele Geraden und Ebenen vereinigst, bekommst Du nicht den ganzen [mm] \IR^3.
[/mm]
Zum Beweis:
Eine Induktion würde ich da gar nicht machen.
Ich würde mir einen Vr V der Dimension n nehmen, und annehmen es sei
[mm] V=V_1 \cup V_2 \cup [/mm] ... [mm] \cup V_r, [/mm] wobei alle [mm] V_i [/mm] eine Dimension kleiner als n haben.
Teil (i) sagt, daß es unendlich viele solcher URe von V gibt. Also gibt es einen Unterraum W der Dimension n-1 mit W [mm] \not=V_i [/mm] ==> [mm] V_1 \cup V_2 \cup [/mm] ... [mm] \cup V_r \not= [/mm] V, Widerspruch. Also muß eines der [mm] V_i [/mm] die Dimension n haben, also ist ein [mm] V_i=V.
[/mm]
Gruß v. Angela
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