Dimension von VR und UVR < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Also, die Fragen lauten:
Seien U, U' beliebige Untervektorräume des Vektorraums V.
Sind folgende Aussagen richtig oder falsch?
1. Aus dimU = dimV folgt U=V
2. Aus dimU = dimV < [mm] \infty [/mm] folgt U=V
3. Aus dimU' = dimU < [mm] \infty [/mm] folgt U'=U
4. Aus dimU + dimU' > dimV (insbesondere: dimV < [mm] \infty [/mm] )
folgt stets V [mm] \not= [/mm] U [mm] \oplus [/mm] U'
Meine Überlegungen waren:
1 - FALSCH, für den Fall, dass die Dimensionen [mm] \infty [/mm] sind kann man
keine Aussage treffen
2 - RICHTIG, da die Dimension die Anzahl der Basiselemente ist, also haben
U und V Basen mit gleichvielen Elementen, es sind genau die
gleichen, da U ein Untervektorraum von V ist. Da die basen gleich
sind, handelt es sich um den gleichen Vektorraum
3 - RICHTIG, wenn U und U' die gleiche Dimension haben, haben sie auch
gleichviele Basiselemente und da sie beide Untervektorräume von dem
gleichen Vektorraum V sind, sind das wieder die gleichen, also U = U'
4 - FALSCH, wenn dimV < [mm] \infty [/mm] , bin ich der Meinung, dass
dimU + dimU' > dimV nie eintreffen kann, auch wenn U=V oder U'=V
Sind meine Überlegungen richtig? Bin mir nicht 100%ig sicher, vor allem bei Teil 4.
Vielen Dank schonmal!
MFG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Mi 06.01.2010 | | Autor: | piet.t |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich schreibe mal zu jedem Punkt meine Anmerkungen dazu...
> Meine Überlegungen waren:
> 1 - FALSCH, für den Fall, dass die Dimensionen [mm]\infty[/mm]
> sind kann man
> keine Aussage treffen
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2 - RICHTIG, da die Dimension die Anzahl der Basiselemente
> ist, also haben
> U und V Basen mit gleichvielen Elementen, es sind
> genau die
> gleichen, da U ein Untervektorraum von V ist. Da die basen
> gleich
> sind, handelt es sich um den gleichen Vektorraum
, aber beachte, dss dabei wichtig ist, dass $U [mm] \subseteq [/mm] V$, sonst klappt das so nicht (vgl. 3.)
> 3 - RICHTIG, wenn U und U' die gleiche Dimension haben,
> haben sie auch
> gleichviele Basiselemente und da sie beide
> Untervektorräume von dem
> gleichen Vektorraum V sind, sind das wieder die
> gleichen, also U = U'
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Gegenbeispiel: Sei [mm] $V=\IR^2$, $U=<\vektor{0\\1}>$, $U'=<\vektor{1\\0}>$. [/mm] Dann sind die Dimensionen von U und U' ja offensichtlich gleich, aber es sind doch zwei verschiedene Vektorräume.
> 4 - FALSCH, wenn dimV < [mm]\infty[/mm] , bin ich der Meinung, dass
> dimU + dimU' > dimV nie eintreffen kann, auch wenn U=V oder
> U'=V
>
wenn U=U'=V ist sogar
dim U + dim U' = dimv V + dim v = 2 dim V
(Randbemerkung: recht hättest Du, wenn da stünde dim (U + U') > dim V, das geht wirklich nicht)
Aber man kann sagen: wenn dim U + dim U' > dim V, dann ist dim (U [mm] \cap [/mm] U') > 0 (folgt z.B. aus der Dimensionsformel und dim V < dim(U + U')). Damit haben aber U und U' nicht-trivialen Durchschnitt und darum kann die Summe nicht direkt sein.
Gruß
piet
|
|
|
|
