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Dimension von Schnitten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:13 Mo 06.12.2010
Autor: traumtaenzerin1984

Aufgabe
Sei V ein K-Vektorraum mit dimV = n < oo. Zeigen Sie:
a) Seien W [mm] \le [/mm] V und U < V mit dimU = n-1. Dann gilt dim(W [mm] \cap [/mm] U) [mm] \le [/mm] dimW -1.
b) Seien [mm] U_j \le [/mm] V mit [mm] dimU_j [/mm] = n-1 für 1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] k. Dann gilt [mm] dim(U_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap U_k) \ge [/mm] n-k.

Hallo,
ich komm mit der Aufgabe leider gar nicht zurecht. Kann mir jemand behilflich sein? Vielen Dank.




Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Dimension-von-Schnitten

        
Bezug
Dimension von Schnitten: Zu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:56 Mo 06.12.2010
Autor: Marcel

Hallo,

> Sei V ein K-Vektorraum mit dimV = n < oo. Zeigen Sie:
>  a) Seien W [mm]\le[/mm] V und U < V mit dimU = n-1. Dann gilt dim(W
> [mm]\cap[/mm] U) [mm]\le[/mm] dimW -1.
>  b) Seien [mm]U_j \le[/mm] V mit [mm]dimU_j[/mm] = n-1 für 1 [mm]\le[/mm] j [mm]\le[/mm] k.
> Dann gilt [mm]dim(U_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap U_k) \ge[/mm] n-k.
>  Hallo,
>  ich komm mit der Aufgabe leider gar nicht zurecht. Kann
> mir jemand behilflich sein? Vielen Dank.

ich nehme an, dass Du anstatt $W [mm] \le [/mm] V$ eher $W [mm] \subseteq [/mm] V$ und ähnliches meintest.

Generell:
Such mal nach den Stichwörtern "Dimensionssatz (oder Dimensionsformel) für Unterräume" - solche sind hier Deine Freunde. Da die a) so einfach ist (wobei sie es eigentlich doch nicht ist, da die Aufgabenstellung falsch ist: Man kann nur $dim(U [mm] \cap [/mm] W) [mm] \le [/mm] dim(W)$ zeigen, wie das Bsp. [mm] $W=U\,$ [/mm] zeigt!), schauen wir sie uns zunächst mal gemeinsam an:

Nach der Dimensionsformel gilt
$$dim(U [mm] \cap W)=dim(U)+dim(W)-dim(U+W)\,,$$ [/mm]
und wegen den Voraussetzungen
$$dim(U [mm] \cap W)=n-1+\dim(W)-dim(U+W)\,.$$ [/mm]

Wegen $U [mm] \subseteq [/mm] U+W [mm] \subseteq [/mm] V$ (Summen linearer Unterräume sind wieder ein linearer Unterraum) ist aber $dim(U)=n-1 [mm] \le [/mm] dim(U+W) [mm] \le n\,,$ [/mm] also
$$dim(U [mm] \cap [/mm] W)=n-1+dim(W)-dim(U+W) [mm] \in \{n-1+dim(W)-(n-1),\;n-1+dim(W)-n\}=\{dim(W),\;dim(W)-1\}\,.$$ [/mm]

Also
$$dim(U [mm] \cap [/mm] W) [mm] \le dim(W)\,.$$ [/mm]

P.S.:
Vielleicht wolltest Du bei der a) eher
$$dim(U [mm] \cap [/mm] W) [mm] \ge [/mm] dim(W)-1$$
zeigen. Genauer gilt, wie Du oben siehst - unter den gegebenen Voraussetzungen:
[mm] $$\dim(W)-1 \le [/mm] dim(U [mm] \cap [/mm] W) [mm] \le dim(W)\,.$$ [/mm]

Beste Grüße,
Marcel

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