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Hallo, ich habe ein kleines Problem mit dem Verständnis von folgendem Korollar:
Sei V ein endlich dimensionaler K-VR. Dann gilt
dim V = dim [mm] V^{*} [/mm] = dim [mm] V^{**} [/mm] und L (jota) : V [mm] \to V^{**} [/mm] ist ein Isomorphismus.
So genau diese Gleichheit der Dimensionen versteh ich nicht so. Wie kann man sich das bei Aufgaben vorstellen?
denn ich habe mal so ein Beispiel gesehen:
Seien U, V [mm] \subset \IR^5 [/mm] Untervektorräume. Dann ist nach der Dimensionsformel folgendes möglich:
dim U=3 und dim V=4 und dim (U+V)=4.
So wie könnte eine Aufgabe sein, wenn man diese Sachen hier dim V = dim [mm] V^{*} [/mm] = dim [mm] V^{**} [/mm] benutzen will, denn mir fällt dazu irgendwie nichts ein.
und meine andere Frage, es heißt ja V [mm] \to V^{**} [/mm] ist ein Isomorphismus, und was ist mit V [mm] \to V^{*} [/mm] ist die Abbildung auch bijektiv, da ja die Dimensionen gleich sind?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:00 Do 20.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> dim V = dim [mm] V^{*} [/mm] = dim [mm] V^{**}
[/mm]
Der Dualraum ist der Raum der lin. Abb. f: [mm] V\ni x\mapsto y\in \IK. \quad (f\in V^{*})
[/mm]
Wegen der Linearität kenn man durch [mm] f(e_1)=y_1 [/mm] bereits [mm] f|_{Lin(e_1)}. [/mm] D.h. durch alle [mm] y_i [/mm] für die verschiedenen Basisvektoren ist f genau beschrieben.
Wenn man diese kennt kann man also f herleiten. Das sieht dann so aus :
[mm] f(\vec{x})=f(\vektor{x_1\\x_2\\...})=(y_1 y_2 ...)*\vektor{x_1\\x_2\\...}=y_1*x_1+y_2*x_2+...
[/mm]
Man sieht recht einfach, dass (1 0 0 ...), (0 1 0 ...), ... dann eine Basis von [mm] V^{*} [/mm] ist. Es gibt somit genausoviele Basisvektoren von [mm] V^{*} [/mm] wie von V. [mm] \Rightarrow [/mm] Die Dimension ist gleich.
[mm] V^{**} [/mm] sind nun die Abb. von [mm] V^{*} [/mm] nach [mm] \IK.
[/mm]
Wegen der Lin. ....
...
Das sieht dann so aus :
[mm] f(\vec{y})=f((y_1 y_2 ...))=(y_1 y_2 ...)\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\...}=y_1\cdot{}x_1+y_2\cdot{}x_2+...
[/mm]
Man kann die Elemente von [mm] V^{**} [/mm] also 1:1 durch Elmente aus V darstellen. Daher der Isomorphismus.
> So wie könnte eine Aufgabe sein ?
Ich bin mir nicht 100% sicher, dass du wirklich eine Aufgabe gestellt haben möchtest, aber an mir solls nicht liegen.
Wie wärs damit :
x,y [mm] \in\IR^{5} [/mm] lin. unabh. und [mm] \not= [/mm] 0
[mm] V_x [/mm] ist der Unterraum von [mm] \IR^5 [/mm] der senkrecht zu x liegt.
[mm] V_y [/mm] ist der Unterraum von [mm] \IR^5 [/mm] der senkrecht zu x und y liegt.
Bestimme die Dimension der Dualräume zu [mm] V_x [/mm] und [mm] V_y [/mm] !
Bestimme die Dimension von [mm] V_x^{*}\oplus V_y^{*} [/mm] !
> es heißt ja V $ [mm] \to V^{\cdot{}\cdot{}} [/mm] $ ist ein Isomorphismus
Richtig formuliert wäre eigentlich :
Es gibt einen Isomorphismus [mm] V\to V^{**}.
[/mm]
> V $ [mm] \to V^{\cdot{}} [/mm] $ ist die Abbildung auch bijektiv, da ja die Dimensionen gleich sind?
Ja. Gleiche Dimension über gleichen Körper [mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt eine bij. Abb.
Ciao.
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HI, danke erstmal.
Deine Aufgabe ist gut. Nur ich weiß noch nicht genau, wie ich die dann lösen soll.
"x,y $ [mm] \in\IR^{5} [/mm] $ lin. unabh. und $ [mm] \not= [/mm] $ 0
$ [mm] V_x [/mm] $ ist der Unterraum von $ [mm] \IR^5 [/mm] $ der senkrecht zu x liegt.
$ [mm] V_y [/mm] $ ist der Unterraum von $ [mm] \IR^5 [/mm] $ der senkrecht zu x und y liegt.
Bestimme die Dimension der Dualräume zu $ [mm] V_x [/mm] $ und $ [mm] V_y [/mm] $ !
Bestimme die Dimension von $ [mm] V_x^{\cdot{}}\oplus V_y^{\cdot{}} [/mm] $ !"
Kann man dann einfach sagen, die dim [mm] V_x [/mm] = 5 und dim [mm] V_y [/mm] = 5
Und bei der direkten Summe komme ich gerade auch nicht weiter, da muss ja der schnitt leer sein oder?
und dann nochmal paar fragen.
du sagst ja: "Es gibt einen Isomorphismus $ [mm] V\to V^{\cdot{}\cdot{}}." [/mm] Und nicht, die Abb. ist ein Isomorphismus (was übrigens so in unserem Skript steht) D.h. nach deiner Formulierung würde ich es so verstehen, dass die Abb. von [mm] V\to V^{\cdot{}\cdot{}} [/mm] nicht umbedingt bijektiv sein müssen, aber das wäre doch dann ein widerspruch dazu, dass die dimensionen immer gleich sind.
Weil ich habe das jetzt so verstanden, dass Abb. dieser Art immer bijektiv sind und die Dimensionen gleich sind:
f: V [mm] \to [/mm] V^*
g: V [mm] \to [/mm] V^**
h: V^* [mm] \to [/mm] V^*
j: V^** [mm] \to [/mm] V^*
d: V^** [mm] \to [/mm] V
d.h. diese Abbildungen sind alle bijektiv, das versteh ich richtig oder? und was ist, wenn ich so eine Abb. hätte.
f: W [mm] \to [/mm] V^*
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Do 20.03.2008 | | Autor: | Zneques |
> Kann man dann einfach sagen, die dim $ [mm] V_x [/mm] $ = 5 und dim $ [mm] V_y [/mm] $ = 5 ?
Nein.
dim [mm] V_x=5 \quad\Rightarrow V_x=\IR^5 \quad\Rightarrow x\in V_x \quad\Rightarrow \exists v\in V_x [/mm] : es gilt nicht [mm] v\perp [/mm] x
(Erweitere die Vektoren x und y zu einer Basis und bilde dann [mm] V_x [/mm] und [mm] V_y.)
[/mm]
> Und bei der direkten Summe komme ich gerade auch nicht weiter, da muss ja der schnitt leer sein oder?
Mit [mm] V_x^{\cdot{}}\oplus V_y^{\cdot{}} [/mm] meinte ich den Raum der durch die Basisvektoren von [mm] V_x^{*} [/mm] und [mm] V_y^{*} [/mm] aufgespannt wird.
Zu dem Teil mit dem Isom. und bij. Abb. bringe ich mal ein Beispiel.
[mm] V=\IR^2 [/mm] , [mm] \vektor{x_1\\x_2}=x\in [/mm] V
[mm] V^{*}=\{f(x)\quad ;f(x)=(y_1 y_2)*x,\quad y_1,y_2\in\IR\,\quad x\in V\}\cong\IR^2
[/mm]
[mm] V^{**}=\{f(y);\quad f(y)=y*z, \quad z=\vektor{z_1\\z_2};\quad z_1,z_2\in\IR\}\cong\IR^2
[/mm]
Nun könnte ich aber doch eine Abbildung [mm] g:V\to V^{**} [/mm] durch [mm] g(x)=\vektor{x_1\\0} [/mm] definieren. Das ist ganz klar kein Isomorphismus [mm] \IR^2\leftrightarrow V^{**}.
[/mm]
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komisch. das würde ja als folge haben, dass der satz in unserem skript nicht ganz richtig, oder?
Sei V ein endlich dimensionaler K-VR. Dann gilt
dim V = dim $ [mm] V^{\cdot{}} [/mm] $ = dim $ [mm] V^{\cdot{}\cdot{}} [/mm] $ und L (jota) : V $ [mm] \to V^{\cdot{}\cdot{}} [/mm] $ ist ein Isomorphismus.
Das wurde auch ganz einfach bewiesen.
V und V^* haben Basen gleicher Länge. Da L injektiv und dim V = dim V^** ist, folgt dass L auch surjektiv ist. Daraus folgt die Bijektivität.
Bemerkung: Für unendlich-dimensionale K-VR ist L nie surjektiv.
Weil hier sagen die ja, IST ein Isomorphismus, das hört sich für mich an, dass es auch immer ein Isomorphismus sein wird. Aber du sagst ja, ES GIBT, das hört sich für mich an, es ein Isomorphismus sein kann, aber nicht muss. Deswegen versteh ich die geschichte gerade nicht so richtig.
und zu den aufgaben, wie rechnet man das denn sonst? wenn $ [mm] v\perp [/mm] $ x gelten soll, dann muss ja das skalarprodukt irgendwie null ergeben, aber wie zeigt man das und wie bestimmt man dann die dimension?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Do 20.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Wie du siehst sind auch in meinen Beispiel die Basen gleichgroß. Trotzdem ist g kein Isom.
Der entscheidene Punkt in eurem Beweis ist :
> [mm] L_\iota: [/mm] V $ [mm] \to V^{\cdot{}\cdot{}} [/mm] $
> Da L injektiv...
Das L ist also schon eine spezielle Abbildung die bereits Laut Vorraussetzung injektiv ist. Sicher soll dabei [mm] L_\iota [/mm] die kanonische Abbildung sein, die in meinen Beispiel [mm] g_\iota(\vektor{x_1\\x_2})=\vektor{x_1\\x_2} [/mm] ist.
Somit existiert ein Isom. Deswegen sind die Räume isomorph.
Zur Aufgabe:
[mm] \IR^5=Lin(e_1,e_2,e_3,e_4,e_5)= Lin(x,z_0,z_1,z_2,z_3)= Lin(x,y,z_1,z_2,z_3) [/mm] , wobei alle Vektoren lin. unabh. sind, und [mm] z_i [/mm] senkrecht zu x und y sind für [mm] i\ge [/mm] 1, [mm] z_0 [/mm] nur senkrecht zu x.
Dann ist [mm] V_x=Lin(z_0,z_1,z_2,z_3)\cong [/mm] Annulator(x).
Ciao.
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Dann müsste ich dich nochmal zwei sachen fragen. Ich habe folgenden Satz gelesen:
V und W sind K-VR. Sind V und W endlichdimensional, so gilt: Es ist f: V [mm] \to [/mm] W genau dann surjektiv, wenn f^*: W^* [mm] \to [/mm] V^* injektiv ist. Ich hoffe, das habe ich jetzt so noch richtig in Erinnerung. Wie kann man das erklären?
Und nochmal eine kleine Aufgabenstellung:
Gegeben seinen die Vektorräume V und W und seien f^*: W^* [mm] \to [/mm] V^* und h^*: V^* [mm] \to [/mm] V^** . Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen immer wahr oder manchmal falsch sind:
1. manchmal falsch: f ist surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f ist bijektiv
2. manchmal falsch: f ist injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f ist bijektiv
3. manchmal falsch: h ist surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] h ist bijektiv
4. immer wahr: h ist injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] h ist bijektiv
müsste dann doch so richtig ein, oder?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Do 20.03.2008 | | Autor: | Zneques |
f surjektiv [mm] \Rightarrow dim(V)\ge [/mm] dim(W) bzw. [mm] W\cong U\subseteq [/mm] V
[mm] \Rightarrow [/mm] dim(V^*) [mm] \ge [/mm] dim(W^*) bzw. W^* [mm] \cong [/mm] U^* [mm] \subseteq [/mm] V^*
[mm] \Rightarrow [/mm] f^* ist maximal injektiv
durch die Definition von f^* ist es dann genau eine der inj. Abb.
Umkehrung analog.
> 1. manchmal falsch: f ist surjektiv $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f ist bijektiv
Ja, für V^* kleiner als W^*.
> 2. manchmal falsch: f ist injektiv $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f ist bijektiv
Ja, für V^* größer als W^*.
> 3. manchmal falsch: h ist surjektiv $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ h ist bijektiv
Nein.
h surj. [mm] \Rightarrow [/mm] dim(V^**)=dim(Bild(h))=dim(V^*) [mm] \Rightarrow [/mm] dim(Ker(h))=0 , also auch inj.
> 4. immer wahr: h ist injektiv $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ h ist bijektiv
Ja. (3. rückwärts)
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Do 20.03.2008 | | Autor: | jaruleking |
Vielen dank.
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Hi. mir sind nochmal paar fragen eingefallen, bei denen ich mir bei den antworten nicht so sicher bin. es gilt ja:
[mm] dim(V)=dim(V^\*)=dim(V^\*^\*)
[/mm]
dim(V)=dim(Ker (f))+dim(Im(f))
<=> dim(Ker(f))=dim(V)-dim(Im(f))=codim(Im(f))
=> dim(Ker(f))=codim(Im(f))
Gelten diese Beziehungen dann auch????
<=> [mm] dim(Ker(f))=dim(V^\*)-dim(Im(f))=codim(Im(f))
[/mm]
=> dim(Ker(f))=codim(Im(f))
<=> [mm] dim(Im(f))=dim(V^\*^\*)-dim(Ker(f))=codim(Ker(f)) [/mm]
=> dim(Im(f))=codim(Ker(f))
Sind diese Beziehungen so richtig???
Gilt nach [mm] dim(V)=dim(V^\*)=dim(V^\*^\*) [/mm] das hier auch???
[mm] dim(Im(f))=codim(Ker(f^\*))
[/mm]
[mm] dim(Ker(f))=codim(Im(f^\*^\*))
[/mm]
[mm] dim(Im(f^\*))=codim(Ker(f^\*^\*))
[/mm]
hauen diese sachen alle so hin oder ist das schwachsinn, was ich da aufgeschrieben habe??????
danke und gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 So 23.03.2008 | | Autor: | Zneques |
"Letzte Texteingabe wiederhergestellt."
Puhh. Da habe ich doch aus versehen den Tab geschlossen.
> <=> dim(Ker(f))=dim(V)-dim(Im(f))=codim(Im(f))
> => dim(Ker(f))=codim(Im(f))
Ich denke mal du meinst das richtige, jedoch ist das mit der Codimension so eine Sache.
Du benötigst immer einen Bezugsvektorraum. Da Im(f) in W liegt wäre das hier W. Wenn nun dim(W)<dim(V) und f surjektiv dann ist dim(Im(f))=dim(W) und somit codim(Im(f),W)=0. Aber dim(Ker(f))=dim(V)-dim(Im(f))>0.
Um den Bezug zu V herrzustellen könnte man V=W, oder [mm] W\subset [/mm] V (damit sich codim auf V beziehen kann) vorraussetzen. Dann ist die Gleichung richtig.
Ansonten könnte man auch [mm] dim(Ker(f))=codim(Ker(f)^{\perp}) [/mm] formulieren, was aber recht trivial ist.
> dim(Ker(f))=dim(V*)-dim(Im(f))
> dim(Ker(f))=dim(V**)-dim(Im(f))
> dim(Im(f))=dim(V*)-dim(Ker(f))
> dim(Im(f))=dim(V**)-dim(Ker(f))
Jop.
> dim(Im(f))=codim(Ker(f^*))
Richtig.
> dim(Ker(f))=codim(Im(f^*^*))
Wegen L**(V,W) [mm] \cong [/mm] L(V,W) wäre das die gleiche Aussage wie :
dim(Ker(f))=codim(Im(f))
[mm] Ker(f)\subset [/mm] V und Im(f**) [mm] \subset [/mm] W** [mm] \cong [/mm] W
Daher gibt es das gleiche Problem wie oben.
> dim(Im(f^*))=codim(Ker(f^*^*))
Richtig.
Ciao.
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Hi vielen dank erstmal. habe dann nur noch eine Frage:
Ist f: V [mm] \to [/mm] W linear, V und W VR, dann gilt: [mm] (Im(f))^\perp=Ker(f^\*).
[/mm]
gilt die Umkehrung auch? also einmal [mm] (Ker(f))^\perp=Im(f^\*)
[/mm]
und das Gleiche dann auch mit Dimensionen, also:
[mm] dim(Im(f))^\perp=dim(Ker(f^\*))
[/mm]
[mm] dim(Ker(f))^\perp=dim(Im(f^\*))
[/mm]
und dann zuletzt noch in so einer Form?
[mm] dim(Im(f^\*))^\perp=dim(Ker(f^\*))
[/mm]
[mm] dim(Ker(f)^\*^\*)^\perp=dim(Im(f^\*))
[/mm]
du hattest es ja so formuliert: $ [mm] dim(Ker(f))=codim(Ker(f)^{\perp}) [/mm] $
danke im voraus
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 So 23.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Um dir das etwas anschaulicher vor Augen zu führen, kannst du dir ein Dreieck mit den Ecken [mm] \IK, [/mm] V und W zeichnen.
Abbildungen (der Strich) von V nach W sind f [mm] \in [/mm] L(V,W).
Abbildungen von V nach [mm] \IK [/mm] sind [mm] \phi\in [/mm] V*.
Abbildungen von W nach [mm] \IK [/mm] sind [mm] \mu\in [/mm] W*.
Abbildungen von W* nach V* sind f* [mm] \in [/mm] L*(V,W).
Abbildungen von V* nach [mm] \IK [/mm] sind [mm] \phi [/mm] * [mm] \in [/mm] V** [mm] \cong [/mm] V.
Abbildungen von W* nach [mm] \IK [/mm] sind [mm] \mu [/mm] * [mm] \in [/mm] W** [mm] \cong [/mm] W.
Abbildungen von V** nach W** sind f** [mm] \in [/mm] L**(V,W) [mm] \cong [/mm] L(V,W).
f* ist dann definiert durch f* [mm] (\mu(v))=\mu(f(v)) [/mm] , also f* [mm] (\mu)= \mu \circ [/mm] f
f** ist dann definiert durch f** [mm] (\phi [/mm] * [mm] (\mu))=\phi [/mm] *(f* [mm] (\mu)) [/mm] , also f**( [mm] \phi [/mm] *)= [mm] \phi [/mm] * [mm] \circ [/mm] f*
> [mm] (Im(f))^\perp\cong [/mm] Ker(f*).
> gilt die Umkehrung auch? [mm] (Ker(f))^\perp\cong [/mm] Im(f*)
Ja. Allerdings sollte man [mm] V\cong [/mm] V* anstatt V=V* schreiben.
> dim(Im(f)) [mm] ^\perp= [/mm] dim(Ker(f^*))
> dim(Ker(f)) [mm] ^\perp= [/mm] dim(Im(f^*))
Klar. Folgt aus der Gleichheit.
> dim(Im(f*)) [mm] ^\perp= [/mm] dim(Ker(f*))
Nur für dim(V)=dim(W). Also eher nein, da Im(f*) [mm] ^\perp \subset [/mm] V* und Ker(f*) [mm] \subset [/mm] W*.
> dim(Ker(f**) [mm] ^\perp)= [/mm] dim(Im(f*))
Ja.
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 So 23.03.2008 | | Autor: | jaruleking |
ok, besten dank für die gute erklärung. werde gleich mal versuchen dieses diagramm zu zeichnen. falls sonst noch fragen auftauchen sollten, dann werde ich mich wieder melden 
danke und gruß
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