Dimension vom Span < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 So 01.12.2013 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | 2. Sei V ein K-Vektorraum und seinen [mm] v_1,...,v_n [/mm] Vektoren in V. Zeigen Sie:
a) [mm] dim_K(Span_K(v_1,...,v_n))\le [/mm] n
b) [mm] v_1,...,v_n [/mm] sind linear unabhängig genau dann, wenn [mm] Span_K(v_1,...,v_n) [/mm] Dimension n hat |
Also ich bin grade noch bei 2.a)
Ich soll also zeigen, dass die dimension von den Vektoren kleiner gleich n ist. N steht denke ich mal für die Länge der Basis.
[mm] Span_K(v_1,...,v_n)= \{\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 +...+ \lambda_n v_n | \lambda_i \in \IR, i\in \{1,2,...,n\}\}
[/mm]
Ich weiss überhaupt nicht wie ich mittels dem Span und der definition der Dimension das ganze nun beweisen soll.
Also ich meine es gilt ja [mm] dim(\IK^n)=n [/mm] weil dann die n-Einheitsvektoren eine Basis von [mm] \IK [/mm] bilden.
Ich muss also begründen, warum
[mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] +...+ [mm] \lambda_n v_n \le [/mm] n
Was mich verwirrt, wenn das was mit der basis zu tun hat, müssen die vektoren linear unabhängig sein. Dann dann ist b) etwas merkwürdig.
Ich brauche wirklich mal einen gedanken impuls :/
mfg. Lé Frog
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 So 01.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> 2. Sei V ein K-Vektorraum und seinen [mm]v_1,...,v_n[/mm] Vektoren
> in V. Zeigen Sie:
>
> a) [mm]dim_K(Span_K(v_1,...,v_n))\le[/mm] n
> b) [mm]v_1,...,v_n[/mm] sind linear unabhängig genau dann, wenn
> [mm]Span_K(v_1,...,v_n)[/mm] Dimension n hat
> Also ich bin grade noch bei 2.a)
>
> Ich soll also zeigen, dass die dimension von den Vektoren
> kleiner gleich n ist. N steht denke ich mal für die Länge
> der Basis.
Das ist falsch, du sollst zeigen, dass die Dimension des spans kleiner n ist
dabei künnen die vektoren mehr als n Lpmponenren haben.
Bsp Span{(1,1,1,1);1,2,1,1) ;(1,2,3,3)(1,0,0,0),(0,1,0,0)} hat dim=3 auch wenn du allen Vektoren hinten noch ein paar Nullen oder 2 en anhängst.
Die Dimension eines VR ist die Maximalzahl an linear unabhängigen Vektoren
bei dieser Sorte Aufgaben muss man immer mit den Definitionen arbeiten, also die zuerst nachsehen, bis man sie im Schlaf beherrscht!
sieh eure Definition an! die Basis etwa von [mm] \IR^2 [/mm] ist nicht nur (1,0); (9,1)
sondern eine andere wäre (1,1) ;(1,3) und noch viele mehr.
>
> [mm]Span_K(v_1,...,v_n)= \{\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 +...+ \lambda_n v_n | \lambda_i \in \IR, i\in \{1,2,...,n\}\}[/mm]
>
> Ich weiss überhaupt nicht wie ich mittels dem Span und der
> definition der Dimension das ganze nun beweisen soll.
>
> Also ich meine es gilt ja [mm]dim(\IK^n)=n[/mm] weil dann die
> n-Einheitsvektoren eine Basis von [mm]\IK[/mm] bilden.
>
> Ich muss also begründen, warum
>
> [mm]\lambda_1 v_1[/mm] + [mm]\lambda_2 v_2[/mm] +...+ [mm]\lambda_n v_n \le[/mm] n
das ist eine sinnlose Gl. links steht die Summe von Vektoren, rechts eine Zahl, das gilt nie! ausser [mm] inK^1
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> Hallo
> > 2. Sei V ein K-Vektorraum und seinen [mm]v_1,...,v_n[/mm]
> Vektoren
> > in V. Zeigen Sie:
> >
> > a) [mm]dim_K(Span_K(v_1,...,v_n))\le[/mm] n
> > b) [mm]v_1,...,v_n[/mm] sind linear unabhängig genau dann, wenn
> > [mm]Span_K(v_1,...,v_n)[/mm] Dimension n hat
> > Also ich bin grade noch bei 2.a)
> >
> > Ich soll also zeigen, dass die dimension von den Vektoren
> > kleiner gleich n ist. N steht denke ich mal für die Länge
> > der Basis.
> Das ist falsch, du sollst zeigen, dass die Dimension des
> spans kleiner n ist
> dabei künnen die vektoren mehr als n Lpmponenren haben.
> Bsp Span{(1,1,1,1);1,2,1,1) ;(1,2,3,3)(1,0,0,0),(0,1,0,0)}
> hat dim=3 auch wenn du allen Vektoren hinten noch ein paar
> Nullen oder 2 en anhängst.
> Die Dimension eines VR ist die Maximalzahl an linear
> unabhängigen Vektoren
> bei dieser Sorte Aufgaben muss man immer mit den
> Definitionen arbeiten, also die zuerst nachsehen, bis man
> sie im Schlaf beherrscht!
>
> sieh eure Definition an! die Basis etwa von [mm]\IR^2[/mm] ist
> nicht nur (1,0); (9,1)
> sondern eine andere wäre (1,1) ;(1,3) und noch viele
> mehr.
>
>
> >
> > [mm]Span_K(v_1,...,v_n)= \{\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 +...+ \lambda_n v_n | \lambda_i \in \IR, i\in \{1,2,...,n\}\}[/mm]
>
> >
> > Ich weiss überhaupt nicht wie ich mittels dem Span und der
> > definition der Dimension das ganze nun beweisen soll.
> >
> > Also ich meine es gilt ja [mm]dim(\IK^n)=n[/mm] weil dann die
> > n-Einheitsvektoren eine Basis von [mm]\IK[/mm] bilden.
> >
> > Ich muss also begründen, warum
> >
> > [mm]\lambda_1 v_1[/mm] + [mm]\lambda_2 v_2[/mm] +...+ [mm]\lambda_n v_n \le[/mm] n
> das ist eine sinnlose Gl. links steht die Summe von
> Vektoren, rechts eine Zahl, das gilt nie! ausser [mm]inK^1[/mm]
> Gruss leduart
Okay, also für dim(v)=n gilt, dass die dimension von v, n basis vektoren enthält.
Überträgt man das auf die situation hier,
ist [mm] dim(Span_k(v_1,...,v_n)\le [/mm] n genau dann erfüllt, wenn der Span endlich viele Basisvektoren hat.
Ich muss also nur zeigen, dass [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] eine Basis vom [mm] Span_k(v_1,...,v_n) [/mm] ist.
Wenn ich jetz das gegenteil annehme und sage, [mm] Span_k(v_1,...,v_n) [/mm] enthält keine Basis, dann muss es linearabhängige vektoren geben
also
[mm] a_1v_1,...,a_nv_n=0
[/mm]
Aber das bringt mich auch nicht weiter.
Irgendwie sagt mir die definition nicht soviel. Also die dimension hängt mit der Basis zusammen, zeige ich es gibt nur endlich viele Basisvektoren, dann muss die Dimension vom Span [mm] \le [/mm] n sein.
Jetz hab ich aber keine Konkreten vektoren, aber alle vektoren einer Basis müssen linear unabhängig sein. Da das wohl nicht so einfach zu zeigen ist, ist ein wiederspruch wohl am besten.
Aber den schaffe ich nicht zu generieren :/
Edit: Kann ich da vll was mit dem Austauschsatz basteln ?
|
|
|
| |
|
> > Hallo
> > > 2. Sei V ein K-Vektorraum und seinen [mm]v_1,...,v_n[/mm]
> > Vektoren
> > > in V. Zeigen Sie:
> > >
> > > a) [mm]dim_K(Span_K(v_1,...,v_n))\le[/mm] n
> > > b) [mm]v_1,...,v_n[/mm] sind linear unabhängig genau dann,
> wenn
> > > [mm]Span_K(v_1,...,v_n)[/mm] Dimension n hat
> > > [mm]Span_K(v_1,...,v_n)= \{\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 +...+ \lambda_n v_n | \lambda_i \in \IR, i\in \{1,2,...,n\}\}[/mm]
>
> >
Hallo,
der Span von [mm] v_1,...,v_n [/mm] ist also die Menge aller Vektoren, die man mit [mm] v_1,...,v_n [/mm] erzeugen kann.
Somit ist [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] ein Erzeugendensystem von [mm] Span(v_1,...,v_n).
[/mm]
Was weißt Du über Erzeugendensystem und Basis?
Jedes EZS enthält...
Also enthält [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] ...
... ... ... ...
Zu Aufgabe b)
Wir wissen, daß [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] ein EZS seines Spans ist.
i.
Angenommen, [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] wäre linear unabhängig.
Jedes linear unabhängige EZS eines Raumes ist ...
Also ist [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] eine ... von ...
Also ist dim ...=...
ii.
Sei dim [mm] span(v_1,...,v_n)=n.
[/mm]
Dann besteht jede Basis aus ...
[mm] (v_1,...,v_n) [/mm] ist ein EZS aus n Vektoren, also...
Wie Du genau argumentierst, hängt natürlich davon ab, was definiert und behandelt würde,
aber ich gehe davon aus, daß
Basis= linear unabhängiges EZS,
max. linear unabhängige Teilmenge=Basis
minimales EZS=Basis u.ä. bereits dran waren.
Du solltest Dich intensiv damit beschäftigen.
LG Angela
|
|
|
|
