Dimension, verallgemeinerter E < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 So 20.05.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei [mm] \lambda \in \IK
[/mm]
Für die Matrix
[mm] \pmat{ \lambda & 1&&& \\ &\lambda&1&&& \\&&\lambda&1&\\&&&\lambda&1&\\&&&&\lambda&1\\&&&&&\lambda }
[/mm]
bestimme die Dimension der Teilräume
[mm] E_\lambda [/mm] = [mm] ker(A_\lambda) \subseteq ker((A-\lambda)^2) \subseteq ....\subseteq ker((A-\lambda)^N) [/mm] = veralgemeinerter [mm] EIgenraum_\lambda
[/mm]
sowie das minimale N für das [mm] ker((A-\lambda)^N) [/mm] = veralgemeinerter [mm] Eigenraum_\lambda [/mm] gilt, wobei A die Matrix bezeichnet. |
Hallo,
charakteristische Polynom [mm] p=(\lambda [/mm] - [mm] z)^6
[/mm]
Eigenwert z= [mm] \lambda [/mm] mit algebraische Vielfachheit 6
[mm] E_\lambda [/mm] = ker(A - [mm] \lambda I_6 [/mm] ) [mm] =\pmat{ 0 & 1&&& \\ &0&1&&& \\&&0&1&\\&&&0&1&\\&&&&0&1\\&&&&&0 } [/mm] = [mm]
-> 1 dimensional
(A - [mm] \lambda I_6)^2 [/mm] verschiebt sich diagonale mit einser um eins nach oben
..
(A - [mm] \lambda I_6)^6 [/mm] = 0 Matrix
dim(Verallgemeineter Eigenraum) = 6
Ist das minimale n dann 6 oder wie?
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> Sei [mm]\lambda \in \IK[/mm]
> Für die Matrix
> [mm]\pmat{ \lambda & 1&&& \\
&\lambda&1&&& \\
&&\lambda&1&\\
&&&\lambda&1&\\
&&&&\lambda&1\\
&&&&&\lambda }[/mm]
>
> bestimme die Dimension der Teilräume
> [mm]E_\lambda[/mm] = [mm]ker(A_\lambda) \subseteq ker((A-\lambda)^2) \subseteq ....\subseteq ker((A-\lambda)^N)[/mm]
> = veralgemeinerter [mm]EIgenraum_\lambda[/mm]
>
> sowie das minimale N für das [mm]ker((A-\lambda)^N)[/mm] =
> veralgemeinerter [mm]Eigenraum_\lambda[/mm] gilt, wobei A die Matrix
> bezeichnet.
>
> Hallo,
>
> charakteristische Polynom [mm]p=(\lambda[/mm] - [mm]z)^6[/mm]
> Eigenwert z= [mm]\lambda[/mm] mit algebraische Vielfachheit 6
> [mm]E_\lambda[/mm] = ker(A - [mm]\lambda I_6[/mm] ) [mm]=\pmat{ 0 & 1&&& \\
&0&1&&& \\
&&0&1&\\
&&&0&1&\\
&&&&0&1\\
&&&&&0 }[/mm]
> = [mm]
> -> 1 dimensional
ok
> (A - [mm]\lambda I_6)^2[/mm] verschiebt sich diagonale mit einser
> um eins nach oben
> ..
> (A - [mm]\lambda I_6)^6[/mm] = 0 Matrix
>
Müsstest dann nur noch deren Dimensionen dann nicht vergessen aufzuschreiben.
> dim(Verallgemeineter Eigenraum) = 6
> Ist das minimale n dann 6 oder wie?
Da ist die Aufgabe recht schlecht formuliert. Ist der verallgemeinerte Eigenraum der Hauptraum?
Wenn ja, dann stimmt deine Lösung.
Sei V ein VR.
Der Hauptraum [mm]H_{A,\lambda}=\{v\in V\text{ mit }(A-\lambda I)^k( v )=0\}[/mm], wobei k die alg. Vielfachh. vom Eigenwert [mm]\lambda[/mm]. Also insb. ist die Dim = 6.
gruß
wieschoo
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