Dimension und Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Di 06.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Wollte mal fragen, ob ich folgende Aufgabe richtig gelöst habe:
Es seien V ein vierdimensionaler Vektorraum über [mm] \IR [/mm] und b1,...,b4 eine Basis von V.
v1:= b1-2*b2+b4
v2:= 2*b3+5*b4
v3:= -2*b1+4*b2+2*b3+3*b4
a) Sind die Vektoren linear unabhängig?
Ich würde sagen ja, da [mm] \mu1 [/mm] *(b1-2*b2+b4)+ [mm] \mu2*(2*b3+5*b4)+ \mu3*(-2*b1+4*b2+2*b3+3*b4)=0
[/mm]
0=b1*( [mm] \mu1 [/mm] -2* [mm] \mu3)+b2*(4* \mu3 [/mm] -2* [mm] \mu1 [/mm] )+b3*(2* [mm] \mu2+2* \mu3)+b4*(3* \mu3+5* \mu2)
[/mm]
also [mm] \mu1 [/mm] =2* [mm] \mu3, [/mm] 4* [mm] \mu3=2* \mu1 [/mm] , 2* [mm] \mu2=-2* \mu3, [/mm] 3* [mm] \mu3=-5* \mu2 [/mm] und daher linear abhängig
b) Geben Sie eine Basis für [mm] U:=Span\{v1,v2,v3 \} [/mm] an!
Dazu ahb ich die Vektoren als Zeilenvektoren aufgefasst und als Matrix der folgenden Form auf Stufenform gebracht:
A= [mm] \pmat{ b1 & -2*b2 & b4 & 0\\ 2*b3 & 5*b4 & 0 & 0 \\ -2*b1 & 4*b2 & 2*b3 & 3*b4 } [/mm] mit vertauschen z3 mit z1
A= [mm] \pmat{-2*b1 & 4*b2 & 2*b3 & 3*b4 \\ 2*b3 & 5*b4 & 0 & 0 \\ b1 & -2*b2 & b4 & 0} [/mm] mit vertauschen s1 und s4
A= [mm] \pmat{3*b4 & 4*b2 & 2*b3 & -2*b1\\ 0 & 5*b4 & 0 & 2*b3 \\ 0 & -2*b2 & b4 & b1} [/mm] mit vertauschen von s1 und s4
A= [mm] \pmat{3*b4 & -2*b1 & 2*b3 & 4*b2\\ 0 & 2*b3 & 0 & 5*b4 \\ 0 & b1 & b4 & -2*b2} [/mm] und damit ist eine Basis die Zeilen, die nicht der Nullvektor sind, also
b1= [mm] \vektor{3*b4 \\ -2*b1 \\ 2*b3 \\ 4*b2}
[/mm]
b2= [mm] \vektor{0 \\ 2*b3 \\ 0 \\ 5*b4}
[/mm]
b3= [mm] \vektor{0 \\ b1 \\ b4 \\ -2*b2}
[/mm]
c) Welche Dimension hat U?
dimU= 2, da rg=2
d) Ergänzen Sie die Basis aus b) zu einer Basis von [mm] \IR^{4}
[/mm]
da hab ich gedacht, ich könnte das mit dem Vektor [mm] b4=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] machen.
danke schon mal für's Durchgucken!
Wünsche einen fleißigen Nikolaus!
liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Di 13.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
> Hallöchen!
> Wollte mal fragen, ob ich folgende Aufgabe richtig gelöst
> habe:
> Es seien V ein vierdimensionaler Vektorraum über [mm]\IR[/mm] und
> b1,...,b4 eine Basis von V.
> v1:= b1-2*b2+b4
> v2:= 2*b3+5*b4
> v3:= -2*b1+4*b2+2*b3+3*b4
> a) Sind die Vektoren linear unabhängig?
> Ich würde sagen ja, da [mm]\mu1[/mm] *(b1-2*b2+b4)+
hier sagst du ja, unten aber abhängig!
> [mm]\mu2*(2*b3+5*b4)+ \mu3*(-2*b1+4*b2+2*b3+3*b4)=0[/mm]
> 0=b1*(
> [mm]\mu1[/mm] -2* [mm]\mu3)+b2*(4* \mu3[/mm] -2* [mm]\mu1[/mm] )+b3*(2* [mm]\mu2+2* \mu3)+b4*(3* \mu3+5* \mu2)[/mm]
Fehler im letzten Ausdruck! [mm] b4*(\mu1+3* \mu3+5* \mu2)
[/mm]
> also [mm]\mu1[/mm] =2* [mm]\mu3,[/mm] 4* [mm]\mu3=2* \mu1[/mm] , 2* [mm]\mu2=-2* \mu3,[/mm] 3*
> [mm]\mu3=-5* \mu2[/mm] und daher linear abhängig
jetzt musst du doch erst nachprüfen ob das System lösbar ist für alle [mm] \mu\ne [/mm] 0! Das system, das du angegeben hattest war nur für alle [mm] \mu=0 [/mm] lösbar!
Meines hat Lösungen ungleich 0! also sind die vi nicht linear unabhängig.
> b) Geben Sie eine Basis für [mm]U:=Span\{v1,v2,v3 \}[/mm] an!
> Dazu ahb ich die Vektoren als Zeilenvektoren aufgefasst
> und als Matrix der folgenden Form auf Stufenform gebracht:
>
> A= [mm]\pmat{ b1 & -2*b2 & b4 & 0\\ 2*b3 & 5*b4 & 0 & 0 \\ -2*b1 & 4*b2 & 2*b3 & 3*b4 }[/mm]
b1 bis b4 sind doch keine Zahlen sondern Vektoren! dann kannst du doch die Matrix nicht so schreiben!
Ausserdem hat doch U höchstens dim=2 also kannst du auch nur 2 Basisvektoren angeben!
> mit vertauschen z3 mit z1
> A= [mm]\pmat{-2*b1 & 4*b2 & 2*b3 & 3*b4 \\ 2*b3 & 5*b4 & 0 & 0 \\ b1 & -2*b2 & b4 & 0}[/mm]
> mit vertauschen s1 und s4
> A= [mm]\pmat{3*b4 & 4*b2 & 2*b3 & -2*b1\\ 0 & 5*b4 & 0 & 2*b3 \\ 0 & -2*b2 & b4 & b1}[/mm]
> mit vertauschen von s1 und s4
> A= [mm]\pmat{3*b4 & -2*b1 & 2*b3 & 4*b2\\ 0 & 2*b3 & 0 & 5*b4 \\ 0 & b1 & b4 & -2*b2}[/mm]
> und damit ist eine Basis die Zeilen, die nicht der
> Nullvektor sind, also
>
> b1= [mm]\vektor{3*b4 \\ -2*b1 \\ 2*b3 \\ 4*b2}[/mm]
> b2= [mm]\vektor{0 \\ 2*b3 \\ 0 \\ 5*b4}[/mm]
>
> b3= [mm]\vektor{0 \\ b1 \\ b4 \\ -2*b2}[/mm]
>
> c) Welche Dimension hat U?
> dimU= 2, da rg=2
rg von was? wo hast du diesen rg berechnet?
Siehe oben, du hast aber 3 Basisvektoren gegeben.
Leider noch mal anfangen. Du musst aus den 3 Vektoren 2 lin. unabhängige raussuchen oder herstellen, je 2 lin unabh, die aus v1,v2,v3 bestehen bilden eine Basis. die 2 zusätlichen müssen dann so gewählt werden, dass alle 4 lin. unabh. sind. und das musst du auch zeigen und nicht irgendeinen nehmen!
Gruss leduart
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