Dimension ker g (g nilpotent) < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 Do 17.05.2007 | | Autor: | Meli90 |
| Aufgabe | V [mm] \not= [/mm] 0 dimV < [mm] \infty, [/mm] g nilpotent in End V, [mm] n_{i}=dim [/mm] ker [mm] g^{i} [/mm] (i=0,1,..), [mm] d_{i}=n_{i}-n_{i-1}, j_{i}=d_{i}-d_{i+1} [/mm] (i=1,2,..)
Beh: [mm] j_{i} \ge [/mm] 0 (i=1,2,..)
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Guten Abend!
Ich stecke bei folgender Aufgabe fest.. Die Behauptung leuchtet mir ein, muss ja so sein.. Nur weiss ich nicht wie ich das angehen soll.. Also wenn ich zu Beginn eine nxn Matriz habe, dann ist die Dimension n-1 (weil die Eigenwerte 0 sein müssen -> nilpotent..), dann ist die dim der [mm] n_{i} [/mm] jeweils n-i, oder? Die [mm] d_{i} [/mm] sind entweder 1 oder 0 aber die Folge der [mm] d_{i} [/mm] ist monoton fallend, deswegen folgt Behauptung, nicht?
Wie gesagt bis jetzt habe ich einfach etwas überlegt.. Ist das der Weg für den Beweis, oder wie kann man das angehen?
Wäre sehr froh um Tipps..
Vielen lieben Dank Mel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Fr 18.05.2007 | | Autor: | statler |
> V [mm]\not=[/mm] 0 dimV < [mm]\infty,[/mm] g nilpotent in End V, [mm]n_{i}=dim[/mm]
> ker [mm]g^{i}[/mm] (i=0,1,..), [mm]d_{i}=n_{i}-n_{i-1}, j_{i}=d_{i}-d_{i+1}[/mm]
> (i=1,2,..)
> Beh: [mm]j_{i} \ge[/mm] 0 (i=1,2,..)
Guten Morgen Mel!
Mein Vorschlag wäre, da nicht mit Matrizen und Eigenwerten zu argumentieren, sondern mit dem Endomorphismus selbst.
Die [mm] g^{i} [/mm] bilden eine Folge von Abbildungen, deren Kerne eine aufsteigende Folge von Untervektorräumen sind. Damit wäre die Behauptung schon bewiesen.
Kann es sein, daß es [mm] j_{i} [/mm] > 0 heißen soll. Das gilt allerdings nicht mehr für alle i, weil man ja irgendwann beim Null-Endomorphismus angekommen ist, sondern nur zu Anfang.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Meli90 |
Vielen lieben Dank für die schnelle Antwort!!
Leider habe ich deine Argumentation nicht ganz verstanden.. :s
Ich es kann mit dem Endomorphismus begründen?
Ach ja und es ist wirklich [mm] \ge, [/mm] genau damit die Fälle auch eingeschlossen ist, wenn die maximale Dimension des Kerns erreicht ist..
Vielen Dank für die Mühe, Mel
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> Leider habe ich deine Argumentation nicht ganz
> verstanden.. :s
> Ich es kann mit dem Endomorphismus begründen?
Hallo,
Dieter hat Dir folgendes gesagt:
[mm] kerng\subseteq kerng^2\subseteq kerng^3\subseteq ...\subseteqg^r=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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