matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Lineare Algebra / Vektorrechnung > Dimension eines Vektorraums
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Dimension eines Vektorraums
Dimension eines Vektorraums < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Dimension eines Vektorraums: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Do 07.04.2005
Autor: franny

Hallo,

Ich habe hier einen Vektorraum, der die Lösung eines LGS ist. Ich soll ein Orthonormalisierungsverfahren durchführen. Soweit ist mir ja auch schon alles klar, aber jetzt kommt eine ganz doofe Frage:

Wie finde ich heraus welche Dimension der Vektorraum hat?

V sieht folgendermaßen aus:
V = [mm] {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \IR^{4} | x_{1}-2x_{2}+x_{3}-x_{4}=0} [/mm]

Es wäre sehr nett, wenn jemand einen kleinen Hinweis in die richtige Richtung für mich hätte.

Danke.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Dimension eines Vektorraums: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Do 07.04.2005
Autor: Julius

Hallo!

Naja, $V$ ist der Kern der linearen Abbildung:

$f [mm] \, [/mm] : [mm] \, \begin{array}{ccc} \IR^4 & \to & \IR\\[5pt] (x_1,x_2,x_3,x_4) & \mapsto & x_1-2x_2 + x_3 - x_4\end{array}$. [/mm]

Nach dem Dimensionssatz für lineare Abbildungen gilt:

$4 = [mm] \dim(Kern(f)) [/mm] + [mm] \dim(Bild(f))$. [/mm]

Nun gilt: [mm] $\dim(Bild(f)) \le \dim(\IR) [/mm] = 1$, aber [mm] $\dim(Bild(f)) \ne [/mm] 0$, da $f$ nicht die Nullabbildung ist. Demnach bleibt nur [mm] $\dim(Bild(f))=1$ [/mm] übrig.

Wir erhalten also:

[mm] $\dim(V) [/mm] = [mm] \dim(Kern(f)) [/mm] = 4-1 = 3$.

Eine Basis lässt sich auch leicht angeben. Schaffst du das alleine? :-)

Wenn nein, dann melde dich bitte wieder. Oder teile uns einen Lösungsvorschlag mit. [sunny]

Liebe Grüße
Julius
Bezug
                
Bezug
Dimension eines Vektorraums: Danke und nächste Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Do 07.04.2005
Autor: franny

Hallo,

Vielen lieben Dank für die schnelle Hilfe! Manchmal scheitert es an solchen Kleinigkeiten ;o)

Ich habe mir 3 Vektoren gewählt und das Orthonormierungsverfahren durchgeführt.

Jetzt muß ich noch zeigen, dass die 3 Vektoren eine orthonormale Basis sind. Lin. unabhängig sind sie, aber:

Wie zeige ich, dass sie den gesamten Vektorraum aufspannen?

franny

P.S.: Euer Forum ist genial! Ich hoffe auf den Tag, an dem ich auch mal eine Frage beantworten kann ;o)
Bezug
                        
Bezug
Dimension eines Vektorraums: Vk
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:12 Fr 08.04.2005
Autor: Hexe

Wenn der Vektorraum dreidimensional ist, dann spannen sie ihn als 3 lin. unabh. Vektoren automatisch auf, denn jerder 4. muss zwangsläufig lin abh von ihnen sein.  
Ansonsten vergiss nicht die Normalität deiner Vektoren zu zeigen
Viele Grüße
Hexe
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]