Dimension eines Unterraumes < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Di 09.09.2008 | | Autor: | flille |
| Aufgabe 1 | Die lineare Hülle der Vektoren a = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 } [/mm] ; b = [mm] \pmat{ 0 & 2 & 4 }; [/mm] c = [mm] \pmat{ 2 & 10 & 12 } [/mm] bildet einen Unterraum des R³. Welche Dimension hat dieser Unterraum ?
Begründen Sie Ihre Antwort. |
| Aufgabe 2 | Geben Sie eine Basis und die Dimension folgender Unterräume
des IR2 bzw. IR4 an:
W1 = L{(1; 5)T ; (5; 1)T ; (1; 4)T ; (4; 1)T }
W2 = L{(1; 1; 1; 1)T ; (0; 1; 2; 3)T ; (0; 0 ¡ 1;¡1)T ; (0; 1; 1; 2)T} |
Hallo miteinander ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt,
dies ist auch mein erstes thema das ich verfasse und ihr seid meine letzte rettung...
nun zu meiner frage, ich weiß einfach nicht wie ich bei beiden aufgaben konkret ran gehen soll.
die definitionen von dimension und unterraum sind mir bekannt, nur bin ich mit diesen aufgaben überfordert.
vielleicht könntet ihr mir tipps oder ansätze geben, wie ich diese aufgaben am besten meistere
ein ansatz wäre vielleicht bei der ersten aufgabe auf lineare unabhängigkeit zu überprüfen?
mfg
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> Die lineare Hülle der Vektoren a = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 }[/mm] ; b =
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & 4 };[/mm] c = [mm]\pmat{ 2 & 10 & 12 }[/mm] bildet einen
> Unterraum des R³. Welche Dimension hat dieser Unterraum ?
> Begründen Sie Ihre Antwort.
> Geben Sie eine Basis und die Dimension folgender
> Unterräume
> des IR2 bzw. IR4 an:
> W1 = L{(1; 5)T ; (5; 1)T ; (1; 4)T ; (4; 1)T }
> W2 = L{(1; 1; 1; 1)T ; (0; 1; 2; 3)T ; (0; 0 ¡ 1;¡1)T ;
> (0; 1; 1; 2)T}
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Erstmal zur ersten Aufgabe:
Stell die Vektoren als Spalten in eine Matrix, und bringe diese Matrix auf Zeilenstufenform, so daß Du den Rang der Matrix ablesen kannst.
Der Rang der Matrix ist auch die Dimension des von den drei aufgespannten Unterraumes. Warum? Weil der Rang einer Matrix die Anzahl der linear unabhängigen Spalten angibt.
Auch bei Aufgabe 2) kommst Du so an die Dimension. Ich (oder jemand anders) könnte Dir dann anhand der Zeilenstufenform zeigen, wie Du eine Basis finden kannst.
Man kann diese Aufgaben auch noch etwas anders lösen, indem man die Vektoren als Zeilen in eine Matrix legt und diese Matrix in Zeilenstufenform bringt.
Auch hier liefert der Rang der Matrix die Dimension des aufgespannten Unterraumes, und wenn Du die am Ende verbliebenen Zeilen zu Spalten "aufrichtest", hast Du gleich eine Basis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Di 09.09.2008 | | Autor: | flille |
danke für deine schnelle antwort ;)
ok zur ersten aufgabe, also wenn ich das in zeilenstufenform bringe, erhalte ich am ende eine nullzeile
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 6\\ 0 & 0 & 0} [/mm] => somit ist der rang=2 und damit auch dim=2, danke das hab ich kapiert =)
zur zweiten aufgabe:
für W1 erhalte ich dann [mm] \pmat{ 1 & 5 & 1 & 4\\ 0 & -24 & -1 & -19}
[/mm]
wieder rang=2 und dim=2
und für W2 [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] => rang=3 -> dim=3
soweit so gut
nur versteh ich das mit der basis net so ganz, wie meinst du das mit dem "aufrichten"?
> wenn Du die am Ende verbliebenen Zeilen zu Spalten "aufrichtest", > hast Du gleich eine Basis.
vielen dank schon mal
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> danke für deine schnelle antwort ;)
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> ok zur ersten aufgabe, also wenn ich das in
> zeilenstufenform bringe, erhalte ich am ende eine
> nullzeile
>
> [mm]\pmat{ \red{1} & 0 & 2\\ 0 & \red{2} & 6\\ 0 & 0 & 0}[/mm] => somit ist
> der rang=2 und damit auch dim=2, danke das hab ich kapiert
> =)
Hallo,
ich gehe davon aus, dß Du die Vektoren als Spalten in die Matrix geschrieben hattest.
Wie Du selbst sagst, kannst Du hier ablesen: Dimension des aufgespannten Raumes =2.
Ich habe oben die führenden Elemente der Nichtnullzeilen markiert. Sie stehen in der 1. und 2. Spalte, und daran kannst Du sehen, daß der 1.und 2. der ursprünglich eingesetzen Vektoren eine Basis des aufgespannten Raumes sind, also [mm] \pmat{ 1 \\2 \\ 0 }, \pmat{ 0 \\ 2 \\ 4 }.
[/mm]
> zur zweiten aufgabe:
>
> für W1 erhalte ich dann [mm]\pmat{ \res{1} & 5 & 1 & 4\\ 0 &\red{-24} & -1 & -19}[/mm]
>
> wieder rang=2 und dim=2
Ja.
Und Du weißt, daß der 1. und 2. der ursprünglich eingesetzen Vektoren eine Basis bilden.
>
> und für W2 [mm]\pmat{ \red{1} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \red{1} & 0 & 1\\ 0 & 0 & \red{1} & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
> => rang=3 -> dim=3
Ja, und der 1.,2.,3. der ursprünglich eingesetzen Vektoren bilden eine Basis.
> nur versteh ich das mit der basis net so ganz, wie meinst
> du das mit dem "aufrichten"?
Das bezieht sich auf eine alternative Berechnungsmöglichkeit:
ich könnte z.B. bei der letzten Aufgabe die Vektoren auch als Zeilen in eine Matrix legen: [mm] \pmat{1&1&1& 1\\0&1& 2&3\\0&0 & 1&1\\0& 1&1& 2},
[/mm]
das auf Zeilenstufenform bringen: [mm] \pmat{1&1&1& 1\\0&1& 2&3\\0&0 & 1&1\\0& 0&0& 0}.
[/mm]
Wenn ich hier die verbleibenden Zeilen wieder aufrichte --> [mm] \pmat{1\\1\\1\\ 1}, \pmat{0\\1\\ 2\\3}, \pmat{0\\0 \\ 1\\1}, [/mm] habe ich eine Basis des aufgespannten Raumes.
Zufälligerweise bekommt man hier jetzt dieselbe Basis wie mit dem anderen Schema, das ist aber nicht immer so.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Di 09.09.2008 | | Autor: | flille |
ich erkenne also anhand der hauptdiagonalenelemente die anzahl der basisvektoren?
vielen lieben dank für deine mühe hat mir sehr geholfen ;)
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> ich erkenne also anhand der hauptdiagonalenelemente die
> anzahl der basisvektoren?
Hallo,
der Rang (die Anzahl der Nichtnullzeilen) sagt, wieviele Basisvektoren man braucht.
Welche man nehmen kann als Basisvektoren sieht man daran, in welcher Spalte(!) die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen.
Wenn bei der Umformung sowas rauskommt [mm] \pmat{1&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&}, [/mm] weiß man, daß man den 1. und 3. der eingesetzen Vektoren als basis nehmen kann.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Di 09.09.2008 | | Autor: | flille |
ah jetzt hab ich es verstanden
nochmals danke für die ganzen antworten und ich wünsch noch nen schönen tag ;)
gruß flille
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