Dimension bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Do 18.11.2010 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | Gegeben seien in dem R-Vektorraum [mm] R^3 [/mm] die Vektoren v1 = (3,1,0), v2 = (4,2,1), v3 = (2,0,−1), v4 = (1,1,1), v5 = (8,2,−1)
Bestimmen Sie die Dimension von V |
Hi !
Um die Dimension von V zu bestimmen muss ich doch eine Matrix aus den genannten Vektoren aufstellen oder ?
Wie erkenne ich dann die Dimension von V ?
Ich wäre für einige Tipps sehr dankbar : )
lg
Flo
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Hiho,
> Um die Dimension von V zu bestimmen muss ich doch eine
> Matrix aus den genannten Vektoren aufstellen oder ?
Viele Wege führen nach Rom.
> Wie erkenne ich dann die Dimension von V ?
Die Menge der linear unabhängigen Vektoren!
> Ich wäre für einige Tipps sehr dankbar : )
Tip: Definitionen wie Dimension, Basis etc nochmal nacharbeiten!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Coup |
Um die Dimension zu bestimmen habe ich nun meine Matrix aufgestellt
I: 3a+4b+2c+1d+8e=0
II: 1a+2b+0c+1d+8e=0
III:0a+1b -1c+1d- 1e=0
Nun möchte ich bei II ein a rauskriegen und bei III ein b um dann in I einzusetzen um so mein Ergebnis zu erhalten.
Doch muss ich nicht vorher Variable d und e "verschinden"lassen?
lg
Flo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Du bist im [mm] \IR^3
[/mm]
wieviel lin unabh. Vektoren hast du höchstens?
Was erhoffst du dir, wenn du a,b,c rauskriegst?
wenn du bei beliebiger Wahl von d und e also am einfachsten 0 ein a,b,c findest die nicht alle 0 sind, dann sind die 3 ersten Vektoren lin abhängig.
wenn es kein a,b,c gibt ausser a=b=c=0 sind sie lin. unabhängig, du hast Glüch und die Dim ist 3
wenn nicht musst du mit den anderen weitermachen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Coup |
in [mm] R^3 [/mm] kann ich höchstens 3 haben.
Ich habe mal folgendes mit den ersten 3 Vektoren gerechnet
3a + 4b +2c = 0
1a + 2b = 0 =>a =ab
1b - 1c =0 => b=c
Und dann die 2. und 3. in die erste eingesetzt.
6b+4c+2c=0
b+c=0
Habe ich damit schon lineare unabhängigkeit bewiesen ? So hätte ich doch die Dimension 2 oder ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Coup |
Ich wäre sehr dankbar wenn mir wer weiterhilft : )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte wohl deine Gleichungen nicht gut genug angesehen.
damit Vektoren lin unabh. sind muss gelten a*v1+b*v2+c*v3=0 nur mit a,b,c=0
deine Gl für die ersten 3 sähen damit völlig anders aus.
Wenn die matrix aus den Vektoren, die du als spalten hast Rang 3 hat hast du 3 lin- unabhängige Vektoren unter deinen 5
wenn sie nen kleineren Rang hat weniger.
kannst du sie so umformen, dass du das siehst?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Coup |
Ich hab es doch genauso gemacht wie du es beschrieben hast.
v1(3,1,0), v2(4,2,1), v3(2,0,-1)
a*(v1)+b*(v2)+c*(v3)=0
3a + 4b +2c=0
1a + 2b +0c=0
0a + 1b - 1c=0
ich verstehe nicht wo mein Fehler ist. Kannst du mich denn korrigieren damit ich es sehe ?
lg
Florian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Sa 20.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry ich hab die falschen v angeguckt.
1) 3a + 4b +2c=0
2) 1a + 2b +0c=0
3) 0a + 1b - 1c=0 b=c in 1) eingesetzt
1a)3a + 6b=0
2) 1a + 2b =0
a=-2b aus beiden. d.h. du kannst ein beliebiges a wählen
zBsp a=2 dann b=-1,c=-1 also sind die 3 ersten vektoren lin abh.
z.Bsp v1-3v2=v3
also kannst du einen davon weglassen! und fesstellen ob dann v1v2v4 wieder lin abh sind wenn nicht bist du fertig, wenn ja kannst du weder einen weglassen und v1v2v5 dasselbe machen, wieder abh. du hast nur dim2 unabh. due hast dim3
aber das macht man, indem man die ganze matrix hinschreibt besser auf einmal
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Coup |
Hey super Leduart ! Danke für deine Hilfe !
Ich habe v1,v2,v4 genommen und bekommen
a=c
b=-c
diese scheinen also linear unabhänig zu sein und somit dim 3 oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Sa 20.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab das nicht nachgerechnet, aber wenn du ein a,b,c die nicht 0 sind rauskriegst heisst das doch gerade sie sind lin. abh.
hier kannst du doch eines beliebig wählen wie eben bei v1,v2,v3
Schreib doch für dich und uns genau auf:
Vektoren a,b,c,... sind lin unabh. wenn.... bitte ergänze
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Coup |
Für sämtliche Matrizen kommt ein Wert für a,b,c raus der nicht 0 ist !
Das bedeutet also für meine Aufgabenstellung. Dimension 2 !
Ist diese Antwort richtig ?
Flo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Sa 20.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
damit hast du höchstens dimension 2 ja.
da soweit ich mich erinnere die vektoren nicht alle proportional also kolinear sind ist die dim. 2.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Coup |
Danke nochmal !
Eine letzte Frage habe ich allerdings noch.
Ich muss Basen bestimmen welche ja definiert sind als die Anzahl der Linear Unabhängigen Vektoren. Da ich aber keine habe dürfte es doch auch keine Basen geben oder ? Denn wenn dem so ist, dann stünde die Aufgabe ja nicht umsonst da. Dann würde ich auch mit 1 falsch liegen
Flo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Sa 20.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch einen 2 dimensionalen Unterraum, der hat auch Basen.
dazu kannst du dir jetzt 2 beliebige vektoren deiner Sammlung nehmen, wenn du ne einfachere Basis willst auch linearkombinationen z:bsp v1+v2 und v1-v2
oder noch andere.
z.Bsp (1,0,0) (1,1,1) und (0,1,1) sind lin abh, du kannst je zwei von denen nehmen und hast ne basis des unterraums oder (2,1,1) und (0,1,1) oder noch andere jede 2 nicht kolinearen , die du aus denen herstellen kannst bilden eine basis. (denn du kannst alle anderen aus dem unterraum aus ihnen linear kombinieren.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:04 So 21.11.2010 | | Autor: | Coup |
Also sind meine Basis Vektoren alle Linear Unabhängigen Paare von v1..v5,
denn v1uv1 sowie v2uv3 usw sind linear unabhängig.
Liege ich richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 So 21.11.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
ich denk du meinst das falsch. man hat nur 2 Basisvektoren, in 2d
aber es gibt sehr viele verschiedene basen. also v1,v2 ist ne Basis. eine andere ist v1,v5 noch ne andere v3,v4 und noch endlos viele andere. du sollst aber wohl nur eine angeben, oder was sagt die aufgabe genau?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 So 21.11.2010 | | Autor: | Coup |
Die Aufgabe lautet alle möglichen Basisvektoren von v1...v5 auszuwählen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 So 21.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie lautet die aufgabe wörtlich?
Gruss leduart
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