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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Di 10.01.2017 | | Autor: | kai1992 |
Hallo zusammen,
ich habe eine (vermutlich wieder triviale) Frage zur Dimension einer Mannigfaltigkeit. Und zwar geht es darum, dass die Dimension einer Mannigfaltigkeit, wie sie in 1.2 auf S. 3 in
https://www.dropbox.com/sh/nqtcl635u0hkxzv/AADwbOnq7zUzCtDaLvqmZTk7a/Skript/diffgeo-skrip2016.pdf?dl=0
definiert wird, "nicht vom Punkt abhängig" ist.
Hierzu wird der Satz von Brouwer angegeben und daraus der Satz über die Invarianz des Gebietes gefolgert, das ist soweit alles klar.
Nun wird am Ende von S. 3/S. 4 gesagt, dass es "für einen Punkt p [mm] \in [/mm] M nicht zwei Karten [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] geben [kann], mit p [mm] \in U_{1} \cap U_{2} [/mm] und [mm] U_{1} [/mm] ist homöomorph zu einer offenen Menge [mm] V_{1} \subset \IR^{n} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] homöomorph zu einer offenen Menge [mm] V_{2} \subset \IR^{m}". [/mm] Auch das ist soweit klar. Aber ich habe doch jetzt nur gezeigt, dass die Definition unabhängig von der gewählten Karte ist, nicht aber vom Punkt?
Müsste man nicht eigentlich p, q [mm] \in [/mm] M, p [mm] \neq [/mm] q, und Karten [mm] (U_{1},x) [/mm] um p und [mm] (U_{2},y) [/mm] um q wählen und dann zeigen, dass dann für die lokalen Homöomorphismen x: [mm] U_{1} \subset [/mm] M [mm] \rightarrow V_{1} \subset \IR^{n} [/mm] und y: [mm] U_{2} \subset [/mm] M [mm] \rightarrow V_{2} \subset \IR^{m} [/mm] gilt, dass m=n ist? Oder was übersehe ich hier? [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] können doch sogar disjunkt sein?
Danke und lieben Gruß
Kai
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> Hallo zusammen,
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> ich habe eine (vermutlich wieder triviale) Frage zur
> Dimension einer Mannigfaltigkeit. Und zwar geht es darum,
> dass die Dimension einer Mannigfaltigkeit, wie sie in 1.2
> auf S. 3 in
>
> https://www.dropbox.com/sh/nqtcl635u0hkxzv/AADwbOnq7zUzCtDaLvqmZTk7a/Skript/diffgeo-skrip2016.pdf?dl=0
>
> definiert wird, "nicht vom Punkt abhängig" ist.
> Hierzu wird der Satz von Brouwer angegeben und daraus der
> Satz über die Invarianz des Gebietes gefolgert, das ist
> soweit alles klar.
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> Nun wird am Ende von S. 3/S. 4 gesagt, dass es "für einen
> Punkt p [mm]\in[/mm] M nicht zwei Karten [mm]U_{1}, U_{2}[/mm] geben [kann],
> mit p [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] und [mm]U_{1}[/mm] ist homöomorph zu
> einer offenen Menge [mm]V_{1} \subset \IR^{n}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm]
> homöomorph zu einer offenen Menge [mm]V_{2} \subset \IR^{m}".[/mm]
> Auch das ist soweit klar. Aber ich habe doch jetzt nur
> gezeigt, dass die Definition unabhängig von der gewählten
> Karte ist, nicht aber vom Punkt?
Es folgt aber zumindest, dass die Dimension in einer Umgebung jedes Punktes konstant ist. Damit ist zu gegebenem n die Menge der x, wo die lokale Dimension n ist, eine offene Teilmenge von M. Ist M zusammenhängend, muss die lokale Dimension auf ganz M kostant sein.
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> Müsste man nicht eigentlich p, q [mm]\in[/mm] M, p [mm]\neq[/mm] q, und
> Karten [mm](U_{1},x)[/mm] um p und [mm](U_{2},y)[/mm] um q wählen und dann
> zeigen, dass dann für die lokalen Homöomorphismen x:
> [mm]U_{1} \subset[/mm] M [mm]\rightarrow V_{1} \subset \IR^{n}[/mm] und y:
> [mm]U_{2} \subset[/mm] M [mm]\rightarrow V_{2} \subset \IR^{m}[/mm] gilt,
> dass m=n ist? Oder was übersehe ich hier? [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm]
> können doch sogar disjunkt sein?
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> Danke und lieben Gruß
> Kai
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