Dimension, Kern, Bild Rang < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Mi 26.01.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix:
[mm] \vektor{2&1&5&1\\1&-1&1&0\\4&2&10&2}
[/mm]
Bestimme Basis des Kerns, des Bildes und die Anzahl Spalten der Matrix (Dimension????) |
Hallo,
ZSF der Matrix:
[mm] $\vektor{2&1&5&1\\0&-1.5&-1.5&-0.5\\0&0&0&0}$
[/mm]
Also Rang der Matrix = 2 . Also Bild Dimension = 2
Basis des Bildes: L= [mm] \vektor{2\\1\\5\\1} \vektor{0\\-1.5\\-1.5\\-0.5}
[/mm]
Kern des Bildes: [mm] \vektor{2&1&5&1&0\\0&-1.5&-1.5&0\\0&0&0&0&0}
[/mm]
setzen von x = [mm] \alpha [/mm] und y = [mm] \beta [/mm]
Kern [mm] L=\vektor{\alpha\\ \beta \\ \beta-\alpha \\ 3\alpha- 6\beta} [/mm] bzw.
[mm] L_{Kern}=\{ \alpha \vektor{1\\ 0 \\ -1 \\ 3} + \beta \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ -6} | \alpha, \beta \in \IR \}
[/mm]
[mm] dim_{kern}=2 [/mm] und [mm] dim_{Bild}= [/mm] 2 Also Anzahl Spalten der Matrix = 4
Stimmt das so ? In was für einem Fall kann ich die Basis des Bildes NICHT so bestimmen??
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
|
|
| |
|
Hallo kushkush,
> Gegeben sei die Matrix:
>
> [mm]\vektor{2&1&5&1\\1&-1&1&0\\4&2&10&2}[/mm]
>
> Bestimme Basis des Kerns, des Bildes und die Anzahl Spalten
> der Matrix (Dimension????)
>
> Hallo,
>
>
> ZSF der Matrix:
>
> [mm]\vektor{2&1&5&1\\0&-1.5&-1.5&-0.5\\0&0&0&0}[/mm]
>
> Also Rang der Matrix = 2 . Also Bild Dimension = 2
>
> Basis des Bildes: L= [mm]\vektor{2\\1\\5\\1} \vektor{0\\-1.5\\-1.5\\-0.5}[/mm]
>
> Kern des Bildes:
> [mm]\vektor{2&1&5&1&0\\0&-1.5&-1.5&0\\0&0&0&0&0}[/mm]
>
> setzen von x = [mm]\alpha[/mm] und y = [mm]\beta[/mm]
>
> Kern [mm]L=\vektor{\alpha\\ \beta \\ \beta-\alpha \\ 3\alpha- 6\beta}[/mm]
> bzw.
>
> [mm]L_{Kern}=\{ \alpha \vektor{1\\ 0 \\ -1 \\ 3} + \beta \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ -6} | \alpha, \beta \in \IR \}[/mm]
>
> [mm]dim_{kern}=2[/mm] und [mm]dim_{Bild}=[/mm] 2 Also Anzahl Spalten der
> Matrix = 4
>
>
> Stimmt das so ? In was für einem Fall kann ich die Basis
Ja, das stimmt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> des Bildes NICHT so bestimmen??
Die Basis des Bildes kannst Du doch immer so bestimmen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
Gruss
MathPower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mi 26.01.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
gibt es noch andere Wege Basis von Bild, Kern etc. zu bestimmen?
Stimmt wenn ich das als Lösungsmenge schreibe:
[mm] Basis_{Bild}=\{\alpha\vektor{2\\1\\5\\1}+\beta \vektor{0\\-1.5\\ -1.5\\ -0.5}| \alpha, \beta \in \IR\}
[/mm]
Danke!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
Hallo kushkush,
> Hallo Mathepower,
>
>
>
> gibt es noch andere Wege Basis von Bild, Kern etc. zu
> bestimmen?
Meines Wissens nicht.
> Stimmt wenn ich das als Lösungsmenge schreibe:
>
> [mm]Basis_{Bild}=\{\alpha\vektor{2\\1\\5\\1}+\beta \vektor{0\\-1.5\\ -1.5\\ -0.5}| \alpha, \beta \in \IR\}[/mm]
>
>
Die Basis des Bildes schreibt man so:
[mm]Basis_{Bild}=<\vektor{2\\1\\5\\1}, \ \vektor{0\\-1.5\\ -1.5\\ -0.5}>[/mm]
>
> Danke!
>
>
> Gruss
>
>
> kushkush
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Mi 26.01.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
Danke nochmals!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
>
> > Stimmt wenn ich das als Lösungsmenge schreibe:
> >
> > [mm]Basis_{Bild}=\{\alpha\vektor{2\\
1\\
5\\
1}+\beta \vektor{0\\
-1.5\\
-1.5\\
-0.5}| \alpha, \beta \in \IR\}[/mm]
Hallo,
nehmen wir an, Du hättest die Basis richtig bestimmt.
Diese Menge beschreibt nicht die Basis des Bildes, sondern das Bild: es sind alle Vektoren darin, die von Deinen beiden Basisvektoren erzeugt werden.
> Die Basis des Bildes schreibt man so:
>
> [mm]Basis_{Bild}=<\vektor{2\\
1\\
5\\
1}, \ \vektor{0\\
-1.5\\
-1.5\\
-0.5}>[/mm]
Auch diese Menge ist nicht die Basis des Bildes, sondern genau wie oben: das Bild als lineare Hülle der errechneten Basisvektoren.
Die Basis würde wirklich nur die beiden Vektoren enthalten, ist also hier eine Menge mit zwei Elementen.
In der Tat sind die Chefs aber normalerweise mit einer Angabe des Bildes als lineare Hülle der errechneten Basisvektoren wie hier im Beitrag völlig zufrieden.
Dabei ist Deine Schreibweise dann ebenso gut wie MathePowers.
Richte Dich danach, was bei Euch üblich ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Hallo kushkush,
>
> > Gegeben sei die Matrix:
> >
> > [mm]\vektor{2&1&5&1\\
1&-1&1&0\\
4&2&10&2}[/mm]
> >
> > Bestimme Basis des Kerns, des Bildes und die Anzahl Spalten
> > der Matrix (Dimension????)
> >
> > Hallo,
> >
> >
> > ZSF der Matrix:
> >
> > [mm]\vektor{2&1&5&1\\
0&-1.5&-1.5&-0.5\\
0&0&0&0}[/mm]
> >
> > Also Rang der Matrix = 2 . Also Bild Dimension = 2
> >
> > Basis des Bildes: L= [mm]\vektor{2\\
1\\
5\\
1} \vektor{0\\
-1.5\\
-1.5\\
-0.5}[/mm]
>
> >
> > Kern des Bildes:
> > [mm]\vektor{2&1&5&1&0\\
0&-1.5&-1.5&0\\
0&0&0&0&0}[/mm]
> >
> > setzen von x = [mm]\alpha[/mm] und y = [mm]\beta[/mm]
> >
> > Kern [mm]L=\vektor{\alpha\\
\beta \\
\beta-\alpha \\
3\alpha- 6\beta}[/mm]
> > bzw.
> >
> > [mm]L_{Kern}=\{ \alpha \vektor{1\\
0 \\
-1 \\
3} + \beta \vektor{0 \\
1 \\
1 \\
-6} | \alpha, \beta \in \IR \}[/mm]
> > Stimmt das so ?
>
> Die Basis des Bildes kannst Du doch immer so bestimmen.
Hallo,
man kann die Basis des Bildes nicht so bestimmen.
Man merkt es sofort, wenn man sich erinnert, wie "Bild einer Matrix" definiert ist: der Raum, der von den Spalten aufgespannt wird.
Damit ist es augenfällig, daß das hier angegebene Bild nicht stimmen kann.
@kushkush
Kochrezept fürs Bild: schaue, in welchen Spalten der ZFS die führenden Zeilenelemente der Nichtnullzeilen stehen.
Hier: in der 1. und 2. Spalte.
Es sind dann die entsprechenden Spalten der Ursprungsmatrix eine Basis des Bildes.
Du, kushkush, hast mit Deiner Vorgehensweise eine Basis des Bildes der Transponierten Deiner Matrix bestimmt -
Du kannst eine Basis des Bildes Deiner Matrix also auf diese Weise bestimmen, wenn Du mit der Transponierten Deiner Matrix arbeitest.
(Vorteilhaft finde ich es meist nicht.)
Gruß v. Angela
|
|
|
|
