Dimension Bild Kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Di 04.09.2007 | | Autor: | Wehm |
Hoi.
Mal eine Frage, wie berechne ich denn die Dimension vom Kern und Bild von der Matrix $A = [mm] \pmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}$
[/mm]
Der Rang der Matrix ist =1.
Aber muss ich immer erst das Bild ausrechnen und dann mit der Dimensionsformel den Kern berechnen? Wenn ich die Matrix transponier, dann würde ich ja für den Kern 1 herausbekommen der aber die Dim 2 hat.
Also immer erst die Dimension des Bildes berechnen und dann mit der Dimformel die Dimension des Kerns berechnen, anders gehts nicht?
Grüßle
Wehm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Di 04.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
die Dimension des Bildes einer linearen Abbildung nennt man auch "Rang". Das ist die (maximale) Anzahl der linear unabhängigen Zeilen- bzw Spaltenvektoren der Matrix (die zu der lin. Abbildung gehört). Beide Werte, der sog. Zeilenrang und Spaltenrang sind immer gleich groß. In der gegebenen Matrix sieht man sofort, daß der Rang 1 ist, denn die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren sind alle gleich. dim Kern = dim V - rg M und damit 2. Das ist der einfachste Weg. Einen einfacheren Weg zur Bestimmung der Dimension des Kerns gibt es nicht. Man kann aber eine Basis des Kerns über die Umformung auf die Zeilenstufenform (mit Gauss) bestimmen. Wenn du das brauchst, frag einfach noch einmal
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Hallo Wehm,
angenommen du hast einen [mm] \IK-Vektorraum [/mm] V und
eine lineare Abbildung [mm] $\phi:V\to [/mm] V$ mit $dim(V)=n$
Die Darstellungsmatrix von [mm] $\phi$ [/mm] sei [mm] $A\in M_n(\IK)$
[/mm]
Die Spalten(vektoren) von $A$ spannen das [mm] \underline{\text{Bild}} [/mm]
von [mm] $\phi$ [/mm] auf
Also ist [mm] $dim(Bild(\phi))=rg(A)$ [/mm] (die Anzahl der linear unabhängigen Spalten/Zeilen)
Aus der Dimensionsformel [mm] ($dim(V)=dim(Bild(\phi))+dim(Kern(\phi))$)
[/mm]
folgt sofort [mm] $dim(Kern(\phi))=dim(V)-dim(Bild(\phi))=dim(V)-rg(A)$
[/mm]
Das nur als erklärende Vorbemerkung.
Was deinen "Fall" angeht, hast du recht, der Rang der Matrix ist 1,
also auch die Dimension des Bildes.
Damit ist die Dimension des Kernes 3-1=2
Wenn du die Matrix transponierst, änderst du nix am Rang, es ist doch Zeilenrang=Spaltenrang - abgesehen davon, dass hier [mm] $A=A^t$ [/mm] ist
Also erhältst du auch nach dem Transponieren wieder Dimension des Bildes=1 und dim(Kern)=2
Du könntest natürlich auch zuerst den Kern und dessen Dimension bestimmen, aber das läuft ja im Prinzip auf dieselbe Rechnung heraus.
Du bringst ja bei deiner Berechnung von dim(Bild)(=rg(A)) die Matrix in ZSF.
Und das würdest du ja auch bei der Bestimung des Kernes, also der Lösungsmenge von [mm] $A\vdot{}v=0$ [/mm] tun.
Das bleibt also gehopst wie gesprungen...
Nach Schema:
(1) Bild und dim(Bild) bestimmen
(2) dim(Kern) mit Dimensionsformel - bzw. wenn du den Kern explizit angeben musst, berechnen.
Die Dimensionsformel gibt dir aber schonmal nen Überblick, dass der Kern die Dimension n-rg(A) haben muss, da hast du nen Anhaltspunkt/Kontrolle für die Berechnung...
LG
schachuzipus
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