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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Kocram |
| Aufgabe | | V sei die Menge aller Polynome mit reelen Koeffizienten vom Grad [mm] \le [/mm] 5 und mit konstantem Glied 0. Zeigen Sie: V ist ein Vektorraum. Dimension? Basis? |
Hallo,
leider komme ich nicht wirklich vorran.
V={ [mm] ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex [/mm] | a,b,c,d,e [mm] \in \IR [/mm] }
Um zu zeigen, dass dies ein Vektorraum ist, muss ich wohl die acht Axiome beweisen, richtig?
Um dann die Basis zu zeigen, muss ich vorher die lineare Unabhängikeit von [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] beweisen und die Basis ergibt sich durch "Hinzunahme geeigneter Vektoren aus [mm] (w_{1},...,w_{n})" [/mm] (Jänich, S. 60). Woher bekomme ich aber diese Vektoren, wir haben doch bisher nur [mm] x_{1},...,x_{n}.
[/mm]
Wenn wir eine Basis gefunden haben, ist dim V = n. Aber wie komme ich auf das n?
Ich weiss, Fragen über Fragen. Ich hoffe ich bekomme hier trotzdem Hilfe, vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> V sei die Menge aller Polynome mit reelen Koeffizienten vom
> Grad [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
5 und mit konstantem Glied 0. Zeigen Sie: V ist
> ein Vektorraum. Dimension? Basis?
> Hallo,
>
> leider komme ich nicht wirklich vorran.
>
> V={ [mm]ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex[/mm] | a,b,c,d,e [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Um zu zeigen, dass dies ein Vektorraum ist, muss ich wohl
> die acht Axiome beweisen, richtig?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
nein, wahrscheinlich kannst Du das schneller erledigen.
Ich bin mir sehr sicher, daß in der Vorlesung gezeigt wurde, daß die reellen Polynome vom Höchstgrad 5 einen Vektorraum bilden.
Da Du es hier mit einer Teilmenge dieses Raumes zu tun hast, brauchst Du nur die Unterraumkriteroien zu zeigne, was deutlich weniger Aufwand ist.
Also mußt Du was zeigen?
> Um dann die Basis zu zeigen, muss ich vorher die lineare
> Unabhängikeit von [mm]x^{1},...,x^{n}[/mm] beweisen
Ich denke, daß in der Vorlesung gezeigt wurde, daß (1,x, [mm] x^2,...,x^n) [/mm] eine Basis des Raumes der Polynome vom Höchstgrad n ist.
Also ist (1,x, [mm] x^2,...,x^5) [/mm] eine Basis des Vektorraumes der reellen Polynome vom Höchstgrad 5, also linear unabhängig.
(x, [mm] x^2,...,x^5) [/mm] ist eine Teilmenge davon.
Oder zeig direkt daß die unabhängig sind:
[mm] a_1x+a_2x^2+...+a_5x^5=Nullpolynom [/mm] ===> ????
und die Basis
> ergibt sich durch "Hinzunahme geeigneter Vektoren aus
> [mm](w_{1},...,w_{n})"[/mm] (Jänich, S. 60).
Ich glaub, in Deinem Buch wird irgendwas anderes bewiesen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Kocram |
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Danke ;)
> nein, wahrscheinlich kannst Du das schneller erledigen.
>
> Ich bin mir sehr sicher, daß in der Vorlesung gezeigt
> wurde, daß die reellen Polynome vom Höchstgrad 5 einen
> Vektorraum bilden.
Nein, leider nicht. Zumindest kann ich nichts direkt dazu finden.
> Da Du es hier mit einer Teilmenge dieses Raumes zu tun
> hast, brauchst Du nur die Unterraumkriteroien zu zeigne,
> was deutlich weniger Aufwand ist.
>
> Also mußt Du was zeigen?
- Abgeschlossenheit der Addition
- Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation
- Existenz eines Neutralelements
Gut, dass sollte ich hinbekommen. Nehme ich mir dafür V oder doch einen Untervektorraum, beispielsweise 4x³+x²?
edit: Habe es für V gemacht und habe bewiesen, dass es sich um einen Untervektorraum von [mm] \IR [/mm] (oder doch [mm] \IR^n?) [/mm]
> Ich denke, daß in der Vorlesung gezeigt wurde, daß (1,x,
> [mm]x^2,...,x^n)[/mm] eine Basis des Raumes der Polynome vom
> Höchstgrad n ist.
Es wurde anfangs anhand eines kurzen Beispieles definiert, dass die Menge aller Polynome vom Grad n ein Untervektorraum des Vektorraums aller Polynome sei. Ausserdem wurde später aus dem Austauschlemma gefolgert, dass dim [mm] \IR^n [/mm] = n sei. Heißt das nun umgekehrt, dass eben "(1,x,[mm]x^2,...,x^n)[/mm] eine Basis des Raumes der Polynome vom Höchstgrad n ist."
> Also ist (1,x, [mm]x^2,...,x^5)[/mm] eine Basis des Vektorraumes der
> reellen Polynome vom Höchstgrad 5, also linear
> unabhängig.
>
> (x, [mm]x^2,...,x^5)[/mm] ist eine Teilmenge davon.
>
> Oder zeig direkt daß die unabhängig sind:
>
> [mm]a_1x+a_2x^2+...+a_5x^5=Nullpolynom[/mm] ===> ????
Hier würde ich erst einmal annehmen, dass diese abhängig wäre und nach x auf lösen. Dabei müsste ein [mm] a_{i} \not= [/mm] 0 sein.
edit:
So komme ich ja auf die Gleichung:
[mm] x=-(\bruch{a_{1}}{a_{i}})x^5+(-(\bruch{a_{2}}{a_{i}})x^4)+(-(\bruch{a_{3}}{a_{i}})x^3)+(-(\bruch{a_{4}}{a_{i}})x^2)+(-(\bruch{a_{5}}{a_{i}})x)
[/mm]
Gibt es einen richtigen Beweis dafür, dass es keine [mm] a_{i} \not= [/mm] 0 gibt oder reicht diese Gleichung um die lineare Unabhängkeit zu beweisen?
Die Basis wäre also [mm] (1,x,x²,x³,x^4,x^5) [/mm] oder war es nicht sogar [mm] (1,x,x²,x3,x^4,x^5,1+x,.......), [/mm] also die Elemente plus die Addiotionen der Elemente?
Daraus folgt wiederum (im ersten Fall) dim V = 6.
> und die Basis
> > ergibt sich durch "Hinzunahme geeigneter Vektoren aus
> > [mm](w_{1},...,w_{n})"[/mm] (Jänich, S. 60).
>
> Ich glaub, in Deinem Buch wird irgendwas anderes bewiesen.
Das stammt aus dem Basisergänzungssatz.
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Hallo,
Du schreibst, daß Ihr in der Vorlesung gezeigt habt, daß die Menge aller Polynome vom Grad n ein Untervektorraum des Vektorraums aller Polynome ist.
Wenn das ein Untervektorraum ist, ist's natürlich auch ein Vektorraum, und weil's für alle n gilt, gilt's auch für n=5.
Somit weißt Du also, daß die Polynome von grad 5 einen Vektorraum bilden, und ihr habt bestimmt irgendwie gezeigt, daß der die Dimension 5+1=6 (bzw. n+1) hat.
Das kannst Du als Fakt nehmen, würde ich sagen, ebenso, daß (1,x, ..., [mm] x^5) [/mm] eine Basis ist.
> > Da Du es hier mit einer Teilmenge dieses Raumes zu tun
> > hast, brauchst Du nur die Unterraumkriteroien zu zeigne,
> > was deutlich weniger Aufwand ist.
> >
> > Also mußt Du was zeigen?
>
> - Abgeschlossenheit der Addition
> - Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation
> - Existenz eines Neutralelements
Genau.
> Gut, dass sollte ich hinbekommen. Nehme ich mir dafür V
> oder doch einen Untervektorraum, beispielsweise 4x³+x²?
Moment!!! 4x³+x² ist ein Element Deines Vektorraumes V, also ein Vektor.
Die Vektoren des Vektorraumes V sind Polynome.
(Vektor =Element eines Vektorraumes. Verabschiede Dich von Vorstellungen von Pfeilen - was nicht heißt, daß sie nicht manchmal nützlich sind. Hier aber wäre diese Vorstellung hinderlich.)
> edit: Habe es für V gemacht und habe bewiesen, dass es
> sich um einen Untervektorraum von [mm]\IR[/mm] (oder doch [mm]\IR^n?)[/mm]
um einen Untervektorraum des Vektorraumes der reellen Polynome vom Höchstgrad 5.
Oft schreibt man dafür [mm] \IR_{\le 5}[x], [/mm] aber Eure Notationen kenne ich natürlich nicht.
> > (x, [mm]x^2,...,x^5)[/mm] ist eine Teilmenge davon.
> >
> > Oder zeig direkt daß die unabhängig sind:
> >
> > [mm]a_1x+a_2x^2+...+a_5x^5=Nullpolynom[/mm] ===> ????
>
> Hier würde ich erst einmal annehmen, dass diese abhängig
> wäre und nach x auf lösen. Dabei müsste ein [mm]a_{i} \not=[/mm] 0
> sein.
> edit:
> So komme ich ja auf die Gleichung:
>
> [mm]x=-(\bruch{a_{1}}{a_{i}})x^5+(-(\bruch{a_{2}}{a_{i}})x^4)+(-(\bruch{a_{3}}{a_{i}})x^3)+(-(\bruch{a_{4}}{a_{i}})x^2)+(-(\bruch{a_{5}}{a_{i}})x)[/mm]
??? Was soll das [mm] a_i [/mm] sein?
Was Du noch so schreibst, ist ein bißchen kraus.
Gucken wir uns nochmal (x, [mm] x^2,...,x^5) [/mm] an.
Ist Dir eigentlcih klar, warum die Vektoren [mm] x,x^2, x^3, x^4, x^5 [/mm] ein Erzeugendensystem V, der Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad $ [mm] \le [/mm] $ 5 und mit konstantem Glied 0, sind?
Wieso?
Wenn Dir klar ist, daß es ein Erzeugendensystem ist, mußt Du die lineare Unabhängigkeit zeigen, daß also aus $ [mm] a_1x+a_2x^2+...+a_5x^5=Nullpolynom [/mm] folgt, daß [mm] a_1=...=a_5=0 [/mm] ist.
Da gibt's nicht so viel zu rechnen.
Wann sind zwei Polynome gleich? (Das war bestimmt daran, als Ihr über Polynome gesprochen habt.)
Tja, und die Koeffizienten vom Nullpolynom sind ???
Gruß v. Angela
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